Мергеляна Теорема

- теорема о возможности равномерной полиномиальной аппроксимации функций комплексного переменного. Пусть К- компакт со связным дополнением на плоскости комплексного переменного z. Тогда всякая функция f, непрерывная на Ки голоморфная в его внутренних точках, равномерно на Кприближается многочленами от z. Эта теорема была доказана С. Н. Мергеляном (см. [1], [2]). Она завершила большой цикл исследований по теории приближений в комплексной плоскости и имеет много применений в различных разделах комплексного анализа. В случае, когда Кне имеет внутренних точек, это утверждение было доказано М. А. Лаврентьевым [3]. А для случая, когда К- замкнутая область со связным дополнением, соответствующая теорема доказана М. В. Келдышем [4].

Из М. Т. Вытекает следующее утверждение. Пусть К - произвольный компакт на плоскости . Для того чтобы функция f, непрерывная на Ки голоморфная внутри К, равномерно приближалась многочленами от 2, необходимо и достаточно, чтобы f голоморфно продолжалась во все ограниченные связные компоненты множества . Задача о приближении многочленами является частным случаем задачи о приближении рациональными функциями с полюсами вне К. С. Н. Мергелян доказал также несколько достаточных условий рациональной аппроксимации (см. [2]). Полное решение этой задачи (для компактов ) получено в терминах аналити ческих емкостей (см. [5]). К М. Т. Примыкает большой цикл работ о полиномиальных, рациональных и голоморфных приближениях в пространстве многих комплексных переменных С".

Здесь получены пока только частные результаты для специальных типов компактов. Лит.:[1] Мергелян С. Н., "Докл. АН СССР", 1951. Т. 78, № 3, с. 405-08. [2] его же, "Успехи матем. Наук", 1952 т. 7, в. 2, с. 31 - 122. [3] Лаврентьев М. A., Sur les fonctions d'une variable complexe representables par des series de polynomes, P., 1936. [4] Келдыш М. В., "Матем. Сб.", 1945, т. 16, №3, с. 249-57. [5] Витушкин А. Г., "Успехи матем. Наук", 1967, т. 22, в. 6, с. 141-99. [6] Некоторые вопросы теории приближений, пер. С англ., М., 1963. [7] Гамелин Т. В., Равномерные алгебры, пер. С англ., М., 1973. Е. М. Чирка..