Нелинейная Связность

- дифференциально-геометрическая структура, задаваемая на категории гладких расслоенных пространств, ассоциированных с нек-рым главным G-расслоением, к-рая фиксирует определенный для данной Н. С. Изоморфизм слоев (параллельный перенос) вдоль каждой кусочно гладкой кривой базы расслоения данной категории, согласованный с изоморфизмом соответствующих слоев главного G-расслоения. При этом предполагается, что указанная структура не тождественна ставшему классическим понятию линейной связности, к-рое определяется тем пли иным G- инвариантным горизонтальным распределением. Иной смысл [5] имеет термин Н. С, состоящий в том, что определяемый горизонтальным распределением перенос векторных слоев расслоения теряет линейный характер, т.

Е. Не является изоморфизмом этих слоев. Необходимость введения и исследование Н. С. Диктовалась потребностями изучения различных дифферен-циально-геометрич. Структур высших порядков (таких, как напр. Кавагути пространства). Основы общей теории Н. С. Достаточно развиты, исследованы и получили приложения нек-рые специальные типы Н. С. (см. [2] - [4]). Пусть гладкое главное G-расслоение со структурной группой Ли Gи канонич. Проекцией p на базу В, а К(X)- категория всех ассоциированных с Xрасслоений. Изоморфизмом слоя на слой наз. Отображение , коммутирующее с действием группы Gна X. Люоой изоморфизм iможет быть задан формулой и, следовательно, является диффеоморфизмом слоев Gx и Gy. Множество Т(Х)всех изоморфизмов между всевозможными слоями главного расслоения Xявляется гладким расслоением со структурой группоида над базой .

(группоид - категория с обратимыми элементами). Изоморфизм порождает соответствующий изоморфизм слоев над точками любого ассоциированного расслоения и тем самым группоид обслуживает всю категорию Пусть - категория всех кусочно гладких кривых базового многообразия В. Связностью в категории К(Х)гладких расслоений в самом общем смысле наз. Любой функтор тождественный по базе . Пусть - канонпч. Проекция группоида Т(Х)на свою базу , определяемая тем условием, что если Тем самым многообразие Вотождествляется с подмногообразием всех левых и правых единиц группоида . Пусть - векторное расслоение над , образованное слоями вида - расслоенное над Впространство р-скоростей многообразия В(элементами являются регулярные р-струи всевозможных гладких отображений с источником ).

Расслоения и обладают ка-нонич. Проекциями на касательное расслоение T(B) Связность наз. Нелинейной связностью порядка р=1, 2, 3, . ., если р- наименьшее число, для к-рого функтор определяет гладкое отображение такое, что . Функтор в свою очередь определяется соответствующим ему отображением В случае, когда р = 1 и отображение послойно линейное, связность вырождается в линейную связность на категории К(Х). В изучении евойств Н. С. И в их классификации фундаментальную роль играют структурные уравнения отображений , записанные в форме уравнений Пфаффа, связывающих дифференциалы относительных координат геометрич. Объектов, описывающих расслоения и . В терминах коэффициентов структурных уравнений с помощью операций их дифференциального продолжения и охватов установлено [2], что Н.

С.в порождает линейную связность специальной структуры в главном G-расслоении над базой , и этой линейной связностью полностью характеризуется. Найдены формы указанной линейной связности и их структурные уравнения. Доказан нелинейный аналог теоремы о группе голономии, в определении к-рой участвуют не только кривизна, но и линейная оболочка распределения горизонтальных конусов, заменяющих в нелинейном случае подпространства горизонтального распределения линейной связности. Лит.:[1] Вагнер В. В., "Тр. Семинара по векторному и тензорному анализу", 1950, в. 8, с. 11-72. [2] Евтушик Л. Е., "Изв. ВУЗов. Математика". 1969, №2, с. 32-44. [3] его же, "Сиб. Матем. Ж.", 1973, т. 14, .№ 3, с. 536-48. [4] Евтушик Л. Е., Третьяков В. В., "Тр. Геометр, семинара", 1974, т.

6, с. 243-55. [5] Кawagусhi A., "Tensor. New ser.", 1952, v. 2. P. 123-42. Л. Е. Евтушик..