Неприводимый Многочлен

- многочлен от ппеременных над полем к, являющийся простым элементом кольца т. Е. Непредставимый в виде произведения , где gи h- многочлены с коэффициентами из k, отличные от константы (неприводимость над k). Многочлен наз. Абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраич. Замыканием поля коэффициентов. Абсолютно Н. М. Одной переменной - это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно Н. М. Сколь угодно высокой степени, напр, любой многочлен вида абсолютно неприводим. Кольцо многочленов факториально. любой многочлен разлагается в произведение Н. М., причем это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей. Над полем действительных чисел любой Н.

М. Одной переменной имеет степень 1 или 2, причем многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант. Над любым полем алгебраич. Чисел существуют Н. М. Сколь угодно высокой степени. Напр., многочлен , где и - нек-рое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна (см. Алгебраическое уравнение). Пусть А- целозамкнутое кольцо с полем частных кп - многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1. Если в , причем g(x)и h(х)имеют старший коэффициент 1, то Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности . Если степень многочлена совпадает со степенью многочлена и неприводим над полем частных области В, то не существует разложения где и отличны от константы.

Напр., многочлен со старшим коэффициентом 1 прост в (и, следовательно, неприводим в ), если для нек-рого простого р неприводим многочлен , полученный из f(х)редукцией коэффициентов по модулю р. Лит.:[1] Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. С нем., М., 1976. [2] Ленг С, Алгебра, пер. С англ., М., 1968. [3]3арисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. С англ., т. 1-2, М., 1963. Л. В. Кузьмин,.