Неравенство

- отношение, связывающее два числа и посредством одного из знаков. (меньше), (меньше или равно), (больше), (больше или равно), (неравно), то есть Иногда несколько Н. Записываются вместе, напр. Н. Обладают многими свойствами, общими с равенствами. Так, Н. Остается справедливым, если к обеим частям его прибавить (или от обеих частей отнять) одно и то же число. Точно так же можно умножить обе части Н. На одно и то же положительное число. Однако если обе части Н. Умножить на отрицательное число, то смысл Н. Изменится на противоположный (т. Е. Знак заменяется на , а на ). Из неравенств следует и , т. Е. Одноименные Н. (и ) можно почленно складывать, а разноименные Н. (и ) - почленно вычитать. Если числа положительны, то из неравенств и следует также и , т.

Е. Одноименные Н. (между положительными числами) можно почленно перемножать, а разноименные - почленно делить. Н., в к-рые входят величины, принимающие различные числовые значения, могут быть верны для одних значений этих величин и неверны для других. Так, неравенство верно при и неверно при x=2. Для Н. Этого типа возникает вопрос об их решении, т. Е. Об определении границ, в к-рых следует брать входящие в Н. Величины для того, чтобы Н. Были справедливы. Так, переписывая неравенство в виде. Замечают, что оно будет верно для всех х, удовлетворяющих одному из следующих неравенств. К-рые и являются решением данного Н. Ниже приводятся нек-рые Н., выполняющиеся тождественно в той или иной области изменения входящих в них переменных.

1) Неравенство для модулей. Для любых действительных или комплексных чисел справедливо Н. . 2) Неравенство для средних. Наиболее известны Н., связывающие гармоническое, геометрическое, арифметическое и квадратичное средние. здесь все числа - положительны. 3) Неравенства для сумм и их интегральные аналоги. Таковы, напр., Вуняковского неравенство, Гёльдера неравенство, Гильберта неравенство, Коши неравенство. 4) Неравенства для степеней чисел. Наиболее известно здесь Минковского неравенство и его обобщения на случай рядов и интегралов. 5) Неравенства для некоторых классов последовательностей и функций. Примерами могут служить Чебышева неравенство для монотонных последовательностей и Иенсена неравенство для выпуклых функций.

6) Неравенство для определителей. Напр., неравенство Ада мара - см. Адамара теорема об определителях. 7) Линейные неравенства. Рассматривается система Н. Вида Совокупность решений этой системы Н. Представляет собой нек-рый выпуклый многогранник в n-мерном пространстве (). Задача теории линейных неравенств состоит в том, чтобы изучить свойства этого многогранника. Н. Имеют существенное значение для всех разделов математики. В теории чисел целый раздел этой дисциплины - диофантовы приближения- полностью основан на Н. Аналитич. Теория чисел тоже часто оперирует с Н. (см., напр., Виноградова оценки). В геометрии Н. Постоянно встречаются в теории выпуклых тел и в изопериметрич. Задаче (см. Изопериметрическое неравенство, Изопериметрическое неравенство классическое).

В теории вероятностей многие законы формулируются с помощью Н. (см., напр., Чебышева неравенство и его обобщение Колмогорова неравенство). В теории дифференциальных уравнений используются т. Н. дифференциальные неравенства. В теории функций постоянно употребляются различные Н. Для производных от многочленов и тригонометрич. Полиномов (см., напр., Вернштейна неравенство, Джексона неравенство);о Н., связанных с вложением классов дифференцируемых функций, см. Колмогорова неравенство, Вложения теоремы. В функциональном анализе при определении нормы в функциональном пространстве требуется, чтобы она удовлетворяла Н. Треугольника . Многие классич. Н. В сущности определяют значения нормы линейного функционала или линейного оператора в том или ином пространстве или дают оценки для них (см., напр., Бесселя неравенство, Минковского неравенство).

В вычислительной математике Н. Применяются для оценки погрешности приближенного решения задачи. Лит.:Харди Г. Г., Литтльвуд Д ж. Е., Полиа Г., Неравенства, пер. С англ., М., 1948. Беккен6ах Э., Беллмав Р., Неравенства, пер. С англ., М., 1965. По материалам одноименной статьи из БСЭ-3..