Неявная Функция

в алгебраической геометрии - функция, задаваемая алгебраич. Уравнением. Пусть - многочлен от (напр., с комплексными коэффициентами). Тогда многообразие нулей этого многочлена можно рассматривать как график нек-рого соответствия Это соответствие н называют, допуская известную неточность, функцией, неявно заданной уравнением Вообще говоря, соответствие умногозначное и не всюду определенное и поэтому не является функцией в обычном смысле. Имеется два способа превратить это соответствие в функцию. Первый, восходящий к Б. Риману (В. Riemann), заключается в том, что областью определения Н. Ф. Усчитают не , а многообразие V(F), конечнолистно накрывающее . Этот прием приводит к очень содержательному понятию римановой поверхности.

При таком подходе понятие Н. Ф. Смыкается с понятием алгебраической функции. Другой способ состоит в том, чтобы представить V(Р)локально как график однозначной функции. Различные теоремы о Н. Ф. Утверждают существование открытых и для к-рых является графиком гладкой в том или ином смысле функции (см. Неявная функция). Однако открытые подмножества Uи W, как правило, не являются открытыми в топологии Зариского и лишены смысла в абстрактной алгебраич. Геометрии. Поэтому указанный способ модифицируется следующим образом. Формальным ростком (или ветвью) в точке Н. Ф., заданной уравнением наз. Формальный степенной ряд такой, что F(X, y) = 0. Вообще, степенной ряд у, удовлетворяющий полиномиальному уравнению наз. Алгебраическим степенным рядом.

Алгебраический степенной ряд сходится в некоторой окрестности точки а. Пусть А- локальное нётерово кольцо с максимальным идеалом m. Элемент уиз пополнения локального кольца Аназ. Алгебраическим над А, если для нек-рого многочлена . Множество алгебраических над элементов образует кольцо Следующий вариант теоремы о Н. Ф. Показывает, что алгебраич. Функций достаточно много. Пусть - набор тмногочленов из и пусть - элементы поля вычетов такие, что. 1) (черта сверху означает редукцию по модулю m). 2) Тогда существуют алгебраические над А элементы такие, что Другими словами, А- гензелево кольцо. Другой результат того же типа - теорема Артина об аппроксимации (см. [2]). Пусть А-локальное кольцо, являющееся локализацией алгебры конечного типа над полем.

Пусть, далее, задана система полиномиальных уравнений с коэффициентами из А(или нз ) и - вектор с коэффициентами из пополнения такой, что Тогда найдется вектор с коэффициентами из , сколь угодно близкий к и такой, что Вариант этой теоремы верен [3] и для систем аналитич. Равнений. Лит.:[1] Ар тин М., "Успехи матем. Наук", 1971, т. 26, в. 1, с. 181-205. [2] Art in M., "Publ. Math. IHES", 1969, № 36, р. 23-58. [3] его же, "Invent, math.", 1968, v. 5, p. 277 - 91. В. И. Данилов..