Ниль Потентный Идеал

- односторонний или двусторонний идеал Мкольца или полугруппы с нулем Атакой, что для нек-рого натурального пвыполняется , т. Е. Произведение любых пэлементов идеала Мравно нулю. Напр., в кольце вычетов по модулю , где р- нек-рое простое число, все идеалы, отличные от самого кольца, нильпотентны. В групповом кольце конечной р-группы Gнад полем из рэлементов идеал, порожденный элементами вида , где , нильнотентен. В кольце верхних треугольных матриц пад пек-рым полем матрицы, у к-рых на главной диагонали стоят нули, образуют Н. И. Любой элемент Н. П. Нильпотентен. Любой Н. И. Является одновременно нильидеалом и содержится в радикале Джекобсона кольца. В артиновых кольцах радикал Джекобсона нильпотентен, и понятия Н. И.

И нильидеала совпадают. Последнее свойство справедливо и для нётеровых колец. В нётеровом слева кольце любой левый (правый) нильидеал нильпотентен. Все Н. И. Коммутативного кольца содержатся в нильрадикале, к-рый в общем случае может быть не нильпотентным, а лишь нильидеалом. Простой пример такой ситуации доставляет прямая сумма колец по всем натуральным п. В коммутативном кольце любой нильпотентный элемент а содержится в нек-ром Н. П., напр, в главном идеале, порожденном а. В некоммутативном кольце могут существовать нильпотентные элементы, к-рые не содержатся ни в одном Н. П. (и даже нильидеале). Напр., в полном кольце матриц над полем имеются нильпотентные элементы, в частности нильпотентны упоминавшиеся выше матрицы, у к-рых ненулевые элементы стоят только над главной диагональю, но это кольцо просто и, следовательно, не имеет ненулевых Н.

И. В конечномерной алгебре Ли Gсуществует максимальный Н. И., состоящий из элементов для к-рых эндоморфизм для нильпотентен. Лит.:[1] Ленг С, Алгебра, пер. С англ., М., 1968. [2] Джекобсон Н., Строение колец, пер. С англ., М., 1961. [3] Фейс К., Алгебра. Кольца, модули и категории, пер. С англ., т. 1, М., 1977. [4] Херстейн И., Некоммутативные кольца, пер. С англ., М., 1972. [5] Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. С франц., М., 1976. Л. В. Кузьмин..