Однородное Комплексное Многообразие

- комплексное многообразие М, группа автоморфизмов к-рого транзитивно действует на М. Все односвязные одномерные комплексные многообразия - сфера Римана, комплексная плоскость и верхняя комплексная полуплоскость - однородны. Многообразие G/H смежных классов комплексной группы Ли Gпо замкнутой комплексной подгруппе Нявляетси О. К. М. Среди компактных О. К. М. Выделяются комплексные флаговые многообразия, к числу к-рых относятся все компактные эрмитовы симметрические пространства[8]. Комплексные флаговые многообразия могут быть охарактеризованы как односвязные компактные однородные кэлеровы многообразия[4], а также как многообразия , Где G- полупростая комплексная группа Ли, U- ее параболич. Подгруппа. Всякое компактное О.

К. М. Допускает однородное коломорфное расслоение над флаговым многообразием со слоем, изоморфным многообразию смежных классов комплексной группы Ли по дискретной подгруппе (см. Титса расслоение, а также [6], [9]). Другой важный класс О. К. М. Составляют однородные ограниченные области (о. О. О.), к числу к-рых относятся, в частности, симметрич. Области, двойственные компактным эрмитовым симметрич. Пространствам. Флаговые многообразия и о. О. О. Представляют собой частные случаи однородных кэлеровы х многообразий (т. Е. Кэлеровых многообразий, на к-рых транзитнвно действует группа аналитич. Автоморфизмов, сохраняющих кэлерову метрику). Существует гипотеза [2], что всякое однородное кэлерово многообразие допускает однородное голоморфное расслоение, базой к-рого служит о.

О. О., а слоем - прямое произведение флагового многообразия и многообразия смежных классов комплексного векторного пространства по дискретной подгруппе. Эта гипотеза доказана для однородных кэлеровых многообразий, допускающих полупростую [1] или вполне разрешимую [2] транзитивную группу автоморфизмов, а также для компактных однородных кэлеровых многообразий, которые, таким образом, изоморфны прямым произведениям флаговых многообразий и комплексных торов [10]. В теории О. К. М. Важную роль играет каноническая эрмитова форма . По любой гладкой мере (х на комплексном многообразии М, задаваемой внешней дифференциальной формой может быть построена эрмитова дифференциальная форма (вообще говоря, вырожденная), не зависящая от выбора системы координат и не меняющаяся при умножении меры m на константу.

Если мера m определена стандартным образом по какой-либо кэлеровой метрике на М, то форма совпадает с формой Риччи этой метрики [7]. Если потребовать, чтобы мера m. Была инвариантна относительно какой-либо транзитивной группе автоморфизмов многообразия М, то она будет определена этой группой однозначно с точностью до умножения на константу, а форма - вполне однозначно. В случае, когда М- о. О. О., определенная таким образом эрмитова форма положительно определена и совпадает с метрикой Бергмана. Для флаговых многообразий форма hm отрицательно определена. Канонпч. Эрмитова форма О. К. М. Может быть вычислена в терминах соответствующей алгебры Ли [3]. Это служит основой для алгебраизации теории о. О. О. И других О. К. М. Одно из направлений в теории О.

К. М. Состоит в изучении голоморфных функций на них при помощи аппарата линейных представлений групп Ли. Напр. этим способом доказано [5], что многообразие G/H смежных классов полупростой комплексной группы Ли Gпо связной замкнутой комплексной подгруппе Нявляется многообразием Штейна тогда и только тогда, когда подгруппа Нредуктивна. Существуют О. К. М., не допускающие транзитивной группы Ли автоморфизмов [11]. Лит.:[1] В orel A., "Proc. Nath. Acad. Sci. USA", 1954, v. 40, p. 1147-51. [2] Винберг Э. Б., Гиндикин С. Г., "Матем. Сб.", 1967, т. 74, № 3, с. 357-77. [3] Ковzul J. L., "Canad. J. Math.", 1955, v. 7, № 4, p. 652-76. [4] Liсhnerоwiсz А., в кн. Geometrie differentielle, P., 1953, p. 171 - 84. [5] Онищик А. Л., "Докл. АН СССР", 1960, т. 130, с. 726- 29.

[6] Tits J., "Comm. Math, helv.", 1962/1963, t. 37, p. 111 - 20. [7] Фукс Б. А., Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных, М., 1963. [8] Хелгасон С, Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. С англ., М., 1964. [9] Wang H.-C, "Amer. J. Math.", 1954, v. 76, № 1, p. 1-32. [10] Воrеl А., Remmеrt R., "Math. Ann.", 1962, Bd 145, № 5, p. 429-39. [11] Kaup W., "Invent, math.", 1967, v. 3, № 1, p. 43-70. Э. В. Винберг..