Однородное Пространство Алгебраической Группы

- алгебраическое многообразие Мвместе с заданным на нем регулярным и транзитивным действием алгебраич. Группы G. Если , то изотропии группазамкнута в G. Обратно, если Н- замкнутая подгруппа нек-рой алгебраич. Группы G, то на множестве левых смежных классов существует структура алгебраич. Многообразия, превращающая его в О. П. А. Г. G, причем естественное отображение регулярно, сепарабельно и обладает следующим универсальным свойством. Для любого морфизма , постоянного на смежных классах, существует такой морфизм что . Если М- любое О. П. А. Г. Gи H=GX для какого-либо , то естественное биективное отображение регулярно, а если основное поле Кимеет характеристику 0, то бирегулярно (см. [1], [3]). Пусть связная группа G, однородное пространство Ми действие группы Gна Мопределены над нек-рым подполем .

Тогда группа k-рациональных точек G(k). Переводит М(к)в себя и для Если кконечно, то , а если при этом подгруппа изотропии Gx связна, то G(h)транзитивно действует на М(к). В общем случае изучение k-рациональных точек в Мсводится к задачам теории Галуа когомологий (см. [2]). О. П. А. Г. Gвсегда является гладким квазипроективным многообразием (см. [5]). Если G- аффинная алгебраич. Группа, то многообразие G/H проективно тогда и только тогда, когда Н- параболическая подгруппа в G(см. [3]). Если Gредуктивна, то многообразие G/H аффинно тогда и только тогда, когда подгруппа Нредуктивна (см. Мацусимы критерий). Известно также описание замкнутых подгрупп Нлинейной алгебраич. Группы Gнад алгебраически замкнутым полем характеристики 0, для к-рых G/H квазиаффинно (см.

[4], [6]). Лит.:[1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. С англ., М., 1972. [2] Серр Ж.-П., Когомологий Галуа, пер. С франц., М., 1968. [3] Хамфри Д ж., Линейные алгебраи- ческие группы, пер. С англ., М., 1980. [4] Суханов А. А., "Успехи матем. Наук", 1978, т. 33, в. 2, с. 182-83. [5] Сhоw W., в кн. Algebraic geometry and topology. Symp. In Honour of S. Lefschetz, Princeton, 1957, p. 122-28. [6] Hochschild G. P., Basic theory of algebraic groups and Lie algebras, N. Y.- Hdld.- В., 1981. А. Л. Онищик..