Односторонние И Двусторонние Поверхности

- два тина поверхностей, различающихся по способу их расположения в объемлющем пространстве (одностороннее расположение и двустороннее расположение). Напр., цилиндр представляет собой двустороннюю поверхность (д. П.), а Мёбиуса лист- одностороннюю поверхность (о. П.). Характерное отличие этих поверхностей - граница цилиндра состоит из двух кривых, а граница листа Мёбиуса из одной кривой. Среди замкнутых поверхностей двусторонней является сфера и тор, а односторонней - Клейна поверхность. Примерами двустороннего и одностороннего расположения кривой могут служить вложения окружности в лист Мёбиуса. Так, цикл (см. Рис.) является односторонней кривой, а цикл - двусторонней (и вообще, любой дезориентирующий путь лежит в поверхности односторонне).

Более точно О. И д. П.- два типа многообразий, различающихся способом вложения их в объемлющее пространство (на единицу большей размерности). Дву-сторонность и односторонность связаны с ориентируемостью и неориентируемостью (см. Ориентация), но в отличие от последних не являются внутренними свойствами поверхности и зависят от объемлющего пространства. Так, напр., существуют ориентируемые д. П. Неориентируемые д. П. Ориентируемые о. П. Неориентируемые о. П. (здесь - сфера, - тор, - проективная плоскость, - проективное пространство, - дезориентирующий путь на ). В ориентируемом пространстве (напр., в Rn) гиперповерхность является ориентируемой в том и только в том случае, когда она является д. П. Пусть вдоль замкнутой кривой на гладкой поверхности, погруженной в нек-рое пространство, обносится нормальный вектор так, чтобы он оставался нормальным.

Если при возвращении в исходную точку направление нормали совпадает с исходным независимо от выбора кривой, то поверхность наз. Двусторонней. В противном случае (когда нормаль окажется противонаправленной исходной) - односторонней. Более общо, двусторонность расположения поверхности П равносильна тривиальности ее нормального расслоения (в таком расслоении существует ненулевое сечение). Наоборот, нормальное расслоение о. П. Нетривиально. Существует кривая на П, над к-рой расслоение является листом Мёбиуса. Локально всякая (гипер)поверхность в пространстве Nn. Разбивает его на две части, т. Е. Для точки имеется такая окрестность , что Uсостоит из двух компонент и и принадлежит их общей границе. С другой стороны, достаточно тесная окрестность в (если Мзамкнуто в N).

Имеет либо одну, либо две компоненты, границы к-рых содержат М. В первом случае (гипер) поверхность также наз. Односторонней, а во втором - двусторонней. Таким образом, хотя поверхность локально и имеет две стороны, глобально она может быть о. П. И в противоположность д. П. Не разбивать свою окрестность в пространстве. Для д. П. , лежащей в , пересечения индекс в N n + 1 для любой замкнутой кривой на удовлетворяет равенству Если же - о. П., то для нек-рой кривой . Этот факт также можно принять за определение одно- и двусторонности (наряду с обносом нормального вектора и разбиением окрестности). Лит.:[1] Гильберт Д., Кон-Фоссен С, Наглядная геометрия, пер. С нем., 3 изд., М., 1981. [2] 3ейферт Г., Трельфалль В., Топология, пер.

С нем., М.-Л., 1938. [3] Фукс Д. Б..Фоменко А. Т., ГутенмахерВ.