Освещения Задача

- задача определения минимального числа направлений пучков параллельных лучей или числа источников, освещающих всю границу выпуклого тела. Пусть К - выпуклое тело n-мерного линейного пространства , a bd Ки int К - соответственно граница и внутренность его, причем . Наиболее известны следующие О. З. 1) Пусть l - нек-рое направление в пространстве Rn. Точка наз. Освещенной извне направлением l, если прямая, проходящая через х параллельно I, проходит через нек-рую точку и направление вектора совпадает с l. Ищется минимальное число с(К).направлений в пространстве , достаточное для освещения в атом смысле всего множества bd K. 2) Пусть z - нек-рая точка множества Точка Кназ. Освещенной извне точкой zесли прямая, определяемая точками z и х, проходит через нек-рую точку и векторы и одинаково направлены.

Ищется минимальное число с' (К).точек из , достаточное для освещения в этом смысле всего множества bd К. 3) Пусть z - нек-рая точка множества bd К. Точка наз. Освещенной изнутри точкой , если прямая, определяемая точками z и х, проходит через нек-рую точку и векторы и противоположно направлены. Ищется минимальное число р(К).точек из bd K, достаточное для освещения изнутри всего множества bd К. 4) Система точек наз. Фиксированной для К, если она обладает свойствами. A) Zдостаточна для освещения изнутри всего множества bd K. Б) Zне обладает никаким собственным подмножеством, достаточным для освещения изнутри множества bd K. Ищется максимальное число р' (К).точек фиксированной системы для тела . Задача 1) была поставлена в связи с Хадвигера гипотезой (см.

[1]). Минимальное число тел b(К), гомотетичных ограниченному Кс коэффициентом гомотетии k,0<k<1, достаточное для покрытия К, удовлетворяет неравенству , причем значение b(К)=2n характеризует параллелепипед. Для ограниченного . Если Кнеограниченно, то и существуют такие тела, что с(К)<b (К).или (см. [1]). Задача 2) поставлена в связи с задачей 1). Для ограниченного верно равенство с(К)=с' (К). Если же Кнеограниченно, то и . Число с' (К)для любого неограниченного принимает одно из значений. (см. [1]). Решение задачи 3) имеет вид. Число р(К).определено тогда и только тогда, когда Котлично от конуса. В этом случае , причем р (K)=n+1 характеризует n-мерный симплекс пространства (см. [1]). Для задачи 4) (см.

[2]) предполагается, что при ограниченном верно неравенство Каждая из О. З. Тесно связана с нек-рым специальным покрытием тела К(см. [1]). Лит.:[1] Болтянский В. Г., Солтан Н. С., Комбинаторная геометрия различных классов выпуклых множеств, Киш., 1978. [2] GriinbaumB., "Acta main. Acad. Scihung.", 1964, v. 15, p. 161-63. П. С. Солтан.