Отражение

- движение s n -мерного односвязного пространства постоянной кривизны Х п (т. Е. Евклидова аффинного пространства Е n, сферы Sn или пространства Лобачевского ), множество неподвижных точек Г к-рого является п-1 мерной гиперплоскостью. Множество Г наз. Зеркалом отображения s. Говорят также, что s ость О. Относительно Г. Всякое О. Однозначно определяется своим зеркалом. Порядок О. В группе всех движений Xn равен 2, то есть . Пусть и . Выбор хв качестве начала координат позволяет отождествить евклидово аффинное пространство Е n с линейным евклидовым пространством Vn его параллельных переносов. Тогда отражение s - линейное ортогональное преобразование пространства Vn, имеющее в нек-ром ортонормированием базисе матрицу и наоборот, всякое ортогональное преобразование пространства Vn, имеющее в нек-ром ортонормированием базисе такую матрицу, является О.

В Е n. Более общо. Линейное преобразование j произвольного векторного пространства Wнад полем kхарактеристики, отличной от 2, наз. Линейным отражением, если j2=idW и ранг преобразования 1-j равен 1. В этом случае подпространство W1 неподвижных относительно j векторов имеет в Wкоразмерность 1, а подпространство W-1 собственных векторов с собственным значением -1 имеет размерность 1 и . Если a - такая линейная форма на И', что a(w)=0 при , а . - такой элемент, что a (h)=2, то j задается формулой Описание О. В произвольном одпосвязном пространстве Xn постоянной кривизны может быть сведено к описанию линейных О. Следующим способом. Всякое такое пространство Xn вкладывается в виде гиперповерхности в действительное (n+1)-ыерное векторное пространство Vn+1 таким образом, что движения Xn продолжаются до линейных преобразовании Vn+1, причем в подходящей системе координат в Vn+1 уравнения указанной гиперповерхности записываются следующим образом.

При этом вложении всякая гиперплоскость в Xn есть пересечение с Xn нек-рого n-мерного подпространства в Vn+1, а всякое О. В X п индуцировано линейным О. В Vn+1. Если в определении линейного О. Отказаться от требования j2=idW, то получается более общее понятие псевдоотражения. Если k - поле комплексных чисел, а j - псевдоотражение конечного порядка (не обязательно равного 2), то ф наз. Комплексным отражением. Комплексным О. Наз. Также всякий биголоморфный автоморфизм конечного порядка ограниченной симметрич. Области в комплексном пространстве, множество неподвижных точек к-рого имеет комплексную коразмерность 1. См. Также Отражений группа. Лит.:[1] Бурбаки II., Группы и алгебры Ли, пер. С франц., М., 1972. [2] Винберг Э.

Б., "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1971, т. 35, .№ 5, с. 1072-112. [3] Gottschling E., "Comm. Pure and Appl. Math.", 1969, v. 22, p. 693-714. [4] Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969. В. Л. Попов.