Отрицательное Биномиальное Распределение

- распределение вероятностей случайной величины X, принимающей целые неотрицательные значения k = 0, 1, 2, . В соответствии с формулой при любых действительных значениях параметров 0<р<1 и r>0. Производящая функция и характеристич. Функция О. Б. Р. Задаются формулами и где q=1- р. Математич. Ожидание и дисперсия равны соответственно rq/p и rq/p2. Функция распределения О. Б. Р. Для значений k=0,1,2,. Определяется через значения функции бета-распределения в точке рследующим соотношением. где В (r, k + 1) - бета-функция. Происхождение термина "О. Б. Р." объясняется тем, что это распределение порождается биномом с отрицательным показателем, а именно, вероятности являются коэффициентами разложения по степеням z.

О. Б. Р. Встречается во многих приложениях теории вероятностей. При целом r>0 О. Б. Р. Интерпретируется как распределение времени ожидания г-го "успеха" в схеме Бернулли испытаний с вероятностью "успеха" р;в такой форме оно наз. Обычно Паскаля распределением и является дискретным аналогом гамма-распределения. При r=1 О. Б. Р. Совпадает с геометрическим распределением. Часто О. Б. Р. Появляется в задачах, связанных с рандомизацией параметров распределений, напр, если Yслучайная величина, имеющая Пуассона распределение со случайным параметром l, к-рый в свою очередь имеет гамма-распределение с плотностью то распределение Yбудет О. Б. Р. С параметрами r=m и . О. Б. Р. Служит предельной формой Пойа распределения. Сумма независимых случайных величин Х 1,...,Х n, имеющих О.

Б. Р. С параметрами ри соответственно, имеет О. Б. Р. С параметрами ри . При больших r и малых q, когда О. Б. Р. Приближается распределением Пуассона с параметром l. Многие свойства О. Б. Р. Определяются тем фактом, что оно представляет собой обобщенное распределение Пуассона. Лит.:[1] Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. С англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1967. А. В. Прохоров.