Равномерная Подгруппа

локально компактной топологической группы G - такая замкнутая подгруппа , что фактор-пространство G/H компактно. С понятием Р. П. Близко связано понятие квазиравномерной подгруппы в G, т. Е. Такой замкнутой подгруппы H в G, для к-рой на G/H существует G-инвариантная мера Напр., подгруппа SL2(Z).группы SL2(R).квазиравномерна, но не равномерна в ней. С другой стороны, подгруппа Твсех верхнетреугольных матриц из SL2(R) - Р. П. В SL2(R), не являющаяся квазиравномерной (на факторпространстве SL2(R)/T нет SL2 (R)-инвариантных мер). Однако всякая связная квазиравномерная подгруппа в группе Ли Gявляется Р. П. (см. [1]), а всякая дискретная Р. П. В G квазиравномерна [2]. (О дискретных Р. П. В группах Ли см. Дискретная подгруппа.). Если G - связная группа Ли и Н - Р.

П. В G, то нормализатор NG(H0).в G связной компоненты единицы Н 0 группы Нсодержит максимальную связную треугольную подгруппу группы G (см. [3]). Алгебраич. Подгруппа Нсвязной алгебраической комплексной линейной группы Ли G тогда и только тогда является Р. П., когда Н - параболич. Подгруппа в G. Описаны все связные Р. П. В полупростых группах Ли (см. [4]). Недискретная Р. П. Нсвязной полупростой группы Ли G обладает свойством сильной жесткости (см. [5]), к-рое состоит в том, что в Gимеется конечное число таких подгрупп Hi, i= 1,. ., т, что любая подгруппа , изоморфная Н, сопряжена одной из подгрупп Hi. Важные примеры равномерных и квазиравномерных подгрупп строятся следующим образом. Пусть G - линейная алгебраич. Группа, определенная над полем рациональных чисел Q, GA- ее группа аделей и - подгруппа главных аделей.

Тогда GQ --'дискретная подгруппа в GA, причем GQ является Р. П. В GA тогда и только тогда, когда 1) У группы G нет нетривиальных рациональных характеров, определенных над полем Q, и 2) все унипотентные элементы группы GQ принадлежат ее радикалу (см. [6], [7]). В частности, если G - унипотентная алгебраич. Группа, определенная над Q, то GQ есть Р. П. В GA. Условие 1) является необходимым и достаточным для квазиравномерности GQ в GA. Лит.:[1] Моstоw G. D., "Ann. Math.", 1962, v. 75, № 1, p. 17-37. [2] Pагунатан М., Дискретные подгруппы групп Ли, пер. С англ., М., 1977. [3] Онищик А. Л., "Матем. Сб.", 1966, т. 71, № 4, с. 483-94. [4] его же, там же, 1967, т. 74, А'" 3, о. 398-416. [5] Gоtо М., Wang H.- С., "Math. Ann.", 1972, Bd 198, Н. 4, S. 259-86.

[6] Борель А.,"Математика", 1964, т. 8, JN" 2, с. 73-75. [7] Моstоw G. D., Тamagawа Т., "Ann. Math.", 1962, v. 76, № 3, p. 446-63. В. Л. Попов. .