Радикалы

колец и алгебр - понятие, впервые возникшее в классической структурной теории конечномерных алгебр в нач. 20 в. Под Р. Первоначально понимался наибольший нильпотентный идеал конечномерной ассоциативной алгебры. Алгебры с нулевым Р. (называемые полупростыми) получили в классич. Теории достаточно полное описание. Любая полупростая конечномерная ассоциативная алгебра является прямой суммой простых матричных алгебр над подходящими телами. Впоследствии было обнаружено, что наибольшие нильпотентные идеалы существуют в любых ассоциативных кольцах и алгебрах с условием минимальности для левых (или правых) идеалов, т. Е. В любых артиновых кольцах и алгебрах, и описание артиновых полупростых колец и алгебр совпадает с описанием конечномерных полупростых алгебр.

В то же время оказалось, что Р., как наибольший нильпотентный либо разрешимый идеал, может быть определен и во многих классах конечномерных неассоциативных алгебр (альтернативных, йордановых, лиевых и др.). При этом, как и в ассоциативном случае, полупростые алгебры оказываются прямыми суммами простых алгебр нек-рого специального вида. В связи с тем, что в бесконечномерном случае наибольшего нильпотентного идеала может и не существовать, появилось много различных обобщений классического Р. Радикал Бэра, радикал Джекобсона, радикал Левицкого, радикал Кёте и др. Наиболее часто используемый из них - Джекобсона радикал. Были введены также Р., в нек-ром смысле противоположные классическому. Так, напр., все классически полупростые кольца (т.

Е. Прямые суммы полных матричных колец) радикальны в смысле регулярного радикала Неймана и наследственно идемпотентного радикала Блэра. Построение общей теории Р. Было начато в работах С. Амицура [1] и А. Г. Куроша [2]. Общая теория радикалов. Всюду в дальнейшем говорится только об алгебрах (имеются в виду алгебры над произвольным фиксированным ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей). Кольца являются частным случаем таких алгебр. Под идеалом алгебры, если это не оговорено специально, понимается двусторонний идеал. Пусть - нек-рый класс алгебр, замкнутый относительно взятия идеалов и гомоморфных образов, т. Е. Содержащий вместе со всякой алгеброй любой ее идеал и любой ее гомоморфный образ. И пусть r - нек-рое абстрактное свойство, к-рым может обладать или не обладать алгебра из .

Алгебра, обладающая свойством r, наз. R-а л г е б р о й. Идеал I алгебры A наз. Ее r-и д е а л о м, если I является r-алгеброй. Алгебра наз. R-полупростой, если она не имеет ненулевых r-идеалов. Говорят, что r является радикальным свойством в классе или что в задан радикал (в смысле Куроша), если выполняются следующие условия. (A) гомоморфный образ r-алгебры есть r-алгебра. (Б) каждая алгебра Акласса обладает наибольшим r-идеалом, т. Е. Идеалом, содержащим любой r-идеал этой алгебры, и этот максимальный r-идеал наз. Тогда r-радикалом этой алгебры и обозначается r(А). (B) факторалгебра А/r (А) r -полупроста. Алгебра, совпадающая со своим Р., наз. Радикальной. В любом классе алгебр и для любого радикала {0} является единственной одновременно радикальной и полупростой алгеброй.

Подпрямое произведение любого множества полупростых алгебр само полупросто. С каждым радикалом r связаны два подкласса алгебр в . Класс (r) всех r-радикальных алгебр и класс (r) всех r-полупростых алгебр. По любому из этих классов однозначно находится радикал r(А).для каждой алгебры Аиз , а именно. Алгебра r-радикальна тогда и только тогда, когда она не может быть отображена гомоморфно ни на одну ненулевую r-полупростую алгебру. Известны условия на подклассы алгебр, необходимые и достаточные для того, чтобы эти подклассы служили классами всех радикальных или классами всех полупростых алгебр для каких-либо Р. В . Такие подклассы алгебр принято называть соответственно радикальными и полупростыми подклассами.

Частичная упорядоченность радикальных классов по включению индуцирует частичный порядок на классе всех Р. В . А именно, считается, что , если (r1) содержит (r2) (и в этом случае также (r1) содержит (r2)). Для каждого подкласса Мкласса нижним радикальным классом l(M), порожденным классом М, наз. Наименьший радикальный класс, содержащий М, а соответствующий ему Р. Наз. Нижним радикалом, определяемым классом М. Верхним радикальным классом и(М), определенным классом М, наз. Наибольший радикальный класс, относительно Р. К-рого все алгебры из Мполупросты (этот Р. Наз. Верхним радикалом, определяемым классом М). Для любого класса Мнижний радикальный класс l(М).существует. Если - класс ассоциативных алгебр, то верхний Р.

Для любого подкласса М. .