Радикал

группы G - наибольшая нормальная подгруппа группы G, принадлежащая данному радикальному классу групп. Класс групп наз. Радикальным, если он замкнут относительно гомоморфных образов, а также относительно "бесконечных расширений", т. Е. Если классу обязана принадлежать всякая группа, обладающая возрастающим нормальным рядом с факторами из данного класса (см. Нормальный ряд). Во всякой группе имеется наибольшая радикальная нормальная подгруппа - радикал. Факторгруппа по Р. Является полупростой группой, т. Е. Имеет единичный радикал. Примером радикального класса является класс групп, обладающих возрастающим субнормальным рядом с локально нильпотентными факторами. Иногда термин "Р." используется именно применительно к наибольшей локально нильпотентной нормальной подгруппе (в случае конечных групп -это нильпотентный Р., или подгруппа Фиттинга).

Важнейшим Р. В конечных группах является разрешимый Р. (см. Разрешимая группа). Конечные группы, имеющие тривиальный разрешимый Р., допускают нек-рое описание в терминах простых групп и их групп автоморфизмов (см. [1]). Лит.:[1] К у р о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967. А. Л. Шмелъкин. В классе групп Ли радикалом наз. Наибольшую связную разрешимую нормальную подгруппу. В любой группе Ли Gсуществует радикал R, причем R - замкнутая подгруппа Ли в G. Если H - нормальная подгруппа Ли в G, то группа G/H полупроста (см. Ли полупростая группа).тогда и только тогда, когда Подалгебра алгебры Ли группы Ли G, соответствующая Р., совпадает с Р. Алгебры Ли Радикал алгебраической группы - наибольшая связная разрешимая нормальная подгруппа алгебраич.

Группы G, всегда замкнутая в G. Радикал H(G).линейной алгебраич. Группы Gсовпадает со связной компонентой единицы в пересечении всех Бореля подгрупп группы G;он является наименьшей из таких замкнутых нормальных подгрупп H, что группа G/H полупроста (см. Полупростая алгебраическая группа). Множество R(G)n всех унипотентных элементов в R(G).есть связная унипотентная замкнутая нормальная подгруппа в G, являющаяся наибольшей среди всех связных унипотентных нормальных подгрупп. Эта подгруппа наз. Унипотентным радикалом г р у п п ы Gи может быть охарактеризована как наименьшая из таких замкнутых нормальных подгрупп Н в G, что G/H редуктивна. А. Л. Онищик.