Разностное Множество

совершенное разностное множество,- множество D, состоящее из kвычетов но модулю некрого натурального числа , причем для каждого , , существует точно l упорядоченных пар (di, dj).элементов из Dтаких, что числа наз. П а р а м е т р а м и Р. М. Напр., множество D = {1, 3, 4, 5, 9} вычетов по модулю 11 есть Р. М. С l= 2. Р. М. Тесно связаны с блок-схемами, аименно. Существование Р. М. Равносильно существованию симметричной блок-схемы с параметрами , обладающей циклич. Группой автоморфизмов порядка (блоки такой схемы суть множества ). Идея Р. М. Обобщается следующим образом. Множество D, состоящее из kразличных элементов d1,. ., группы G порядка , наз. -разностным множеством в G, если для любого , , существует в точности l упорядоченных пар (di, dj),, таких, что (или, что то же, l.

Пар (di, dj) с d-1i dj=a). Тогда определенное выше Р. М. Наз. Ц и к л и ч е с к и м Р. М. (т. К. Группа классов вычетов по mod есть циклич. Группа). Существование -разностных множеств в группе Gпорядка равносильно существованию симметричной блок-схемы с параметрами , допускающей G в качестве регулярной (т. Е. Без неподвижных элементов) группы автоморфизмов (эта схема получается отождествлением элементов блок-схемы с элементами группы и блоков - с множествами , где gпробегает G). Основным в теории Р. М. Является вопрос о существовании и построении Р. М. С заданными параметрами. При его изучении оказывается полезным понятие множителя Р. М. Автоморфизм группы G наз. Множителем -разностного множества Dв G, если он является также автоморфизмом блок-схемы, определяемой Р.

М. D. Для циклического Р. М. Множитель - это число t, взаимно простое с и с тем свойством, что для нек-рого i, . Множители циклического Р. М. Образуют группу. Справедливо утверждение. Если D - циклическое -разностное множество и если р - простое число, делящее k-l и такое, что и , то р-множитель D(т е о р е м а о м н о ж и т е л е Р. М.). При построении Р. М. Полезен следующий результат. Для любого множителя -разностного множества Dв абелевой группе Gпорядка в блок-схеме, определяемой D, существует блок, фиксируемый этим множителем. При существует блок, фиксируемый любым множителем. Р. М. Обычно строятся прямыми методами с использованием свойств конечных полей, полей деления круга (см. Круговое поле), а также конечных геометрий.

Известно несколько бесконечных семейств Р. М., напр. Следующие типы Sи Q. Тип S (р а з н о с т н ы е м н о ж е ст в а З и нг е р а). Это - гиперплоскости в n-мерной проективной геометрии над полем из элементов. Параметры. тип Q:квадратичные вычеты в поле при ( р - простое число). Параметры. Другие бесконечные семейства Р. М. См. Р [1]-[3]. Наряду с Р. М. Часто рассматриваются обобщенные P.M., или р а з н о с т н ы е с е м е й с т в а,- это множества D1,. ., Dr, состоящие из. Вычетов по и такие, что для любого существует точно l упорядоченных пар , c для нек-рого Имеются также другие обобщения Р. М. Лит.:[1] Х о л л М., Комбинаторика, пер. С англ., М., 1970. [2] В a u m е г t L. D., Cyclic difference sets, В.- Hdlb.-N.Y., 1971.

[3] Н а 1 1 M., "Math. Centre Tracts", 1974, v. 57, p. 1-26. В. Е. Тараканов.