Разностная Схема

- система разностных уравнений, аппроксимирующих дифференциальное уравнение и дополнительные (начальные, граничные и др.) условия. Аппроксимация исходной дифференциальной задачи Р. С.- это один из способов приближенной дискретизации исходной задачи. Он заключается в том, что заданную область изменения независимых переменных Gзаменяют дискретным множеством точек Gh - с е т к о й, а производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяют на сетке Gh, разностными отношениями. В результате такой замены возникает замкнутая система большого числа алгебраич. Уравнений (линейных или нелинейных в зависимости от исходной дифференциальной задачи), к-рая и представляет собой Р. С. По существу Р. С.- это семейство разностных уравнений, зависящих от шагов сетки.

Решение Р. С. Также зависит параметрически от шагов сетки. Р. С.- многопараметрический и сложный объект. Помимо коэффициентов исходного дифференциального уравнения она содержит свои собственные параметры такие, как шаги по времени и пространству, весовые множители и др. Влияние этих параметров может существенно исказить представление о поведении исходной дифференциальной задачи. В связи с разностной аппроксимацией дифференциальных задач изучаются следующие вопросы. О способах построения Р. С., о сходимости при измельчении сетки решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи, о методах решения систем разностных уравнений. Все перечисленные вопросы рассматривает разностных схем теория. Разработаны эффективные численные методы решения типичных Р.

С. Для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, предполагающие использование быстродействующих ЭВМ. Ниже приводится простой пример Р. С. Пусть имеется дифференциальная задача (1) Область G{0<x<l} заменяется соткой Р. С. Для задачи (1) имеет вид (2) где . Можно показать, что при решение разностной задачи (2) сходится к решению исходной задачи (1) и при достаточной гладкости функции Р. С. (2) имеет второй порядок точности, где М - постоянная, не зависящая от h. РешениеР.