Трансцендентная Функция

в узком смысле слова мероморфная функция в плоскости комплексного переменного z, отличная от рациональной функции. В частности, сюда относятся целые Т. Ф., т. Е. целые функции, отличные от многочленов, напр. Показательная функция ez, тригонометрич. Функции sin z, cos z, гиперболич. Функции sh z, ch z, .функция l/Г(z), где Г(z) - гамма-функция Эйлера. Целые Т. Ф. Имеют единственную существенно особую точку в бесконечности. Собственно мероморфные Т. Ф. Характеризуются наличием конечного или бесконечного множества полюсов в конечной плоскости и соответственно наличием существенно особой точки или предельной точки полюсов в бесконечности. К ним, напр., относятся тригонометрич. Функции tg z, ctg z, гиперболич. Функции th z, cth z, гамма-функция Г(z).

Приведенное определение Т. Ф. Распространяется на мероморфные функции f(z) в пространстве многих комплексных переменных z=(z1, . ., zn). В широком смысле слова под Т. Ф. Понимается всякая аналитич. Ция (однозначная или многозначная), отличная от алгебраич. Функции, для вычисления значений к-рой помимо алгебраич. Операций над аргументом, необходимо применить предельный переход в той или иной форме. Для Т. Ф. Характерно наличие у нее хотя бы одной особенности, не являющейся полюсом или алгебраич. Точкой ветвления. Напр., логариф-мич. Функция ln z имеет две трансцендентные точки ветвления z=0 и Аналитич. Функция трансцендентна тогда и только тогда, когда ее риманова поверхность не компактна. Важный класс Т. Ф. Составляют часто встречающиеся специальные функции.

гамма-функция и бета-функция Эйлера, гипергеометрическая функция и вырожденная гипергеометрическая функция, особенно ее частные случаи - сферические функции, цилиндрические функции, Матъё функции. Лит.:[1] Кратцер А., Франц В., Трансцендентные функции, пер. С нем., М., 1963. [2] Уиттекер 3. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. С англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963. [3] Стоилов С., Теория функций комплексного переменного, пер. С рум., т. 1, М., 1962. Л. Д. Кудрявцев, Е. Д. Соломенцев.