Трансцендентная Кривая

плоская кривая, уравнение к-рой в декартовых прямоугольных координатах не является алгебраическим. В отличие от алгебраич. Кривых Т. К. Могут иметь бесконечно много точек пересечения с прямой и бесконечно много точек перегиба. У Т. К. Встречаются точки особой природы, к-рых не существует у алгебраич. Кривых. Точки прекращения, обладающие той особенностью, что окружность достаточно малого радиуса с центром в этой точке пересекает кривую только в одной точке. Угловые точки (излома точки), в к-рых прекращаются две ветви кривой, причем каждая из них имеет в такой точке свою касательную. Асимптотичeские точки, к к-рым непрерывно приближается ветвь кривой, делая вокруг точки бесконечное число оборотов. Нек-рые Т. К. Обладают своеобразными особенностями формы (напр., имеют пунктирную ветвь из бесконечного множества изолированных точек).

Одна из попыток классифицировать Т. К. Основывается на том факте, что у подавляющего большинства известных Т. К. (и у всех алгебраич. Кривых) угловой коэффициент у' касательной в каждой точке кривой является корнем алгебраич. Уравнения, коэффициенты к-рого представляют собой многочлены от переменных хи у. Иными словами, дифференциальные уравнения большинства известных Т. К. Являются уравнениями 1-го порядка вида где f0, f1, f2, . ., fn - многочлены без общих множителей. Это обстоятельство позволяет объединить как все алгебраич. Кривые, так и почти все Т. К. (кроме, напр., Корню спирали )в группу т. Н. Паналгебраических кривых, к-рые различаются по степени пи по рангу v - максимальной степени многочленов f0, f1, f2, . ., fn.

Так, напр., у кривых 3-го порядка n=1, v=2. У архимедовой спирали n=2, v=4. Паналгебраич. Кривые обладают многими свойствами, присущими алгебраич. Кривым. Напр., на них могут быть обобщены понятия гессианы и поляры. О попытках дальнейшей классификации паналгебрaич. Кривых см. [1]. Примеры Т. К. См. Спирали, Цепная линия, Динострата квадратриса, Циклоида, а также графики трансцендентных функций:показательной, логарифмической, тригонометрической и др. Лит.:[1] Савелов А. А., Плоские кривые, М., 1960. Д. Д. Соколов.