Треугольный Элемент

-1) Т. Э. Алгебры End V эндоморфизмов конечномерного векторного пространства . Над нолем k - элемент все собственные значения к-рого принадлежат k. Если kалгебраически замкнуто, то всякий элемент из End V треуголен. Для Т. Э. X(и только для такого элемента) существует базис в V, относительно к-рого матрица эндоморфизма Xтреугольна (или, что то же, существует инвариантный относительно Xполный флаг в V).Для Т. Э. Имеется Жордана разложение над k. Существует ряд обобщений понятия Т. З. В End Vна случай бесконечномерного V (см. [2]). 2) Т. Э. Конечномерной алгебры Анад полем k- такой элемент что оператор правого (или левого, в зависимости от рассматриваемого случая) умножения на аявляется Т. Э. В алгебре EndkA. Если Аизоморфна алгебре EndVдля нeк-рого конечномерного векторного пространства V над k, то эти два (формально различные) определения приводят к одному и тому же понятию.

В алгебрах Ли треугольность элемента означает треугольность эндоморфизма adx (где аd х (у)=[ х, у]). Множество всех Т. Э. В алгебре Ли, вообще говоря, не замкнуто относительно операций сложения и коммутирования (напр., для - простой алгебры Ли вещественных матриц порядка 2 со следом 0). Однако в случае разрешимой алгебры Аэто множество является даже характеристич. Идеалом в А. 3) Т. Э. В связной конечномерной группе Ли G - элемент для к-рого Adg является Т. Э. В End (здесь - присоединенное представление группы Ли Gв группе автоморфизмов ее алгебры Ли Если ,.- экспоненциальное отображение, а - Т. Э. (в смысле пункта 2), то ехр (X) - Т. Э. В G. Обратное утверждение в общем случае неверно. Алгебры Ли и группы Ли, все элементы к-рых треугольны, наз.

Треугольными алгебрами или группами соответственно, а также Ли вполне разрешимыми алгебрами и Ли вполне разрешимыми группами. Лит.:[1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. С англ., М., 1972. [2]Плоткин Б. И., Группы автоморфизмов алгебраических систем, М., 1966. [3] Постников М. М., Линейная алгебра и дифференциальная геометрия, М., 1979. В. В. Горбацевич.