Триортогональная Системаповерхностей

множество поверхностей в трехмерном пространстве, распадающихся на три однопараметрич. Семейства таким образом, что любые две поверхности различных семейств образуют прямой угол в каждой точке их пересечения. Предполагается, что входящие в Т. С. П. Поверхности являются регулярными, в этом случае кривые, по к-рым пересекаются входящие в нее поверхности, являются линиями кривизны этих поверхностей (теорема Дюпена). Т. С. Ц. Образуют системы координатных поверхностей в ортогональной координации пространства. Так, в сферич. Системе координат Т. С. П. Образуют. Одно семейство сфер с общим центром в начале координат, второе семейство конусов вращения с вершиной в начале координат и с осью, через к-рую проходят плоскости третьего семейства координатных поверхностей.

С каждой Т. С. П. Может быть связана нек-рая ортогональная координация пространства. Линейный элемент пространства в ортогональных координатах и, v, w имеет вид где Н i( и, v, w), i=1, 2,3,- т. Н. Функции Ламе, для к-рых риманов тензор этой пространственной формы тождественно равен нулю. Этими функциями определяется Т. С. П. С точностью до движения (или отражения). С каждой регулярной поверхностью может быть связана Т. С. П., в состав к-рой она входит. Если задано однопараметрич. Семейство регулярных поверхностей, входящее в состав Т. С. П., и если в этом семействе содержится хотя бы одна поверхность, отличная от плоскости или сферы, то вся Т. С. П. Этим семейством вполне определяется. Т. С. П. Образуют софокусные поверхности поверхностей 2-го порядка в евклидовом пространстве.

Уравнение систем этих поверхностей в декартовой ортогональной системе координат имеет вид где а, b, с - фиксированные величины, 0<с<b<а, - параметр. При это уравнение определяет семейство эллипсоидов, при - семейство одно-полостных гиперболоидов, а при - семейство двуполостных гиперболоидов. Через каждую точку пространства проходят три поверхности этой системы. Однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид и эллипсоид. Автоморфизмами Т. С. П. В евклидовом пространстве являются сферич. Преобразования. Лит.:[1] Darbоux G., Lecons sur les systemes orthogonaux et les coordonnees curviligncs, 2 ed., P., 1910. [2] Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1-2, М.- Л., 1947 - 48.

Л. А. Сидоров.