Тройка

монада, в категории - моноид в категории функторов. Другими словами, Т. В категории наз. Ковариантный функтор снабженный такими естественными преобразованиями и что следующие диаграммы коммутативны (здесь обозначает тождественный функтор категории Иногда Т. Наз. Стандартной конструкцией. Для любой пары сопряженных функторов и функтор является тройкой вместе с морфизмами и где и - единица и коединица сопряжения. Обратно, для произвольной тройки существует такая пара сопряженных функторов Fи G, что T=FG, а преобразования и получаются из единицы и коединицы сопряжения описанным выше способом. Подобных различных разложений для Т. Может оказаться целый класс. В этом классе имеется наименьший элемент (конструкция Клейсли) и наибольший элемент (конструкция Эйленберга - Мура).

Примеры. 1) В категории множеств функтор взятия множества подмножеств произвольного множества обладает структурой Т. Каждое множество X естественно вкладывается в множество своих подмножеств, а каждому множеству подмножеств Xсопоставляется объединение этих подмножеств. 2) В категории множеств каждый основной функтор HA(X) = Н( А , X )является Т. Отображение сопоставляет каждому функцию тождественно равную х;отображение сопоставляет каждой функции от двух переменных ее ограничение на диагональ. 3) В категории R-модулей над коммутативным кольцом Rфунктор снабжается структурой Т., аналогичной структуре из примера 2). 4) В категории топологич. Пространств каждая топологич. Группа Gпозволяет определить функтор к-рый является Т.

Каждый элемент переходит в элемент ( х, е), где е - единичный элемент группы G, а отображение определяется равенством Лит.:[1] Адаме Дж., Бесконечнократные пространства петель, пер. С англ., М., 1982. [2] Годеман Р., Алгебраическая топология и теория пучков, пер. С франц., М., 1961. [3] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 13, М., 1975. [4] Мас Lanе S., Categories (or the working mathematician, N. Y.- [а. О.], 1971. [5] Manes E.G., Algebraic theories, N. Y., 1976. М. Ш. Цаленко.