Упорядоченная Группа

группа G, на к-poй задано отношение порядка такое, что для любых а, b, х, у из G неравенство влечет за собой Порядок, как правило, подразумевается линейным и в этом случае понятие У. Г. Совпадает с понятием линейно упорядоченной группы. Иногда порядком называют произвольный частичный порядок и, соответственно, упорядоченными группами - произвольные частично упорядоченные группы. Порядковым гомоморфизмoм (частично) У. Г. Gв У. Г. Нназ. Гомоморфизм j группы Gв группу Нтакой, что в H. Ядрами порядковых гомоморфизмов являются нормальные выпуклые подгруппы и только они. Множество правых смежных классов линейно У. Г. Gпо выпуклой подгруппе Нлинейно упорядочено, если считать тогда и только тогда, когда Если Н - выпуклая нормальная подгруппа линейно У.

Г. G, то это отношение порядка превращает факторгруппу G/H в линейно У. Г. Система выпуклых подгрупп линейно У. Г. Обладает свойствами. А) линейно упорядочена по включению и замкнута относительно пересечений н объединений. Б) инфраинвариантна, т. Е. Для любой и любого верно . в) если А<В - скачок в т. Е. A, и между ними нет выпуклых подгрупп, то Анормальна в В, факторгруппа В/А- архимедова группа и где NG(B)- нормализатор Вв G. Г) все подгруппы из строго изолированны, т. Е. Для любого конечного набора х, gl, . , gn из Gи любой подгруппы соотношение влечет за собой Расширение GУ. Г. H с помощью У. Г. Является У. Г., если порядок H устойчив относительно внутренних автоморфизмов G. Расширение GУ. Г. Нс помощью конечной группы является У.

Г., если Gбез кручения и ворядок в Нустойчив относительно внутренних автоморфизмов G. Порядковый тип счетной У. Г. Имеет вид где - порядковые типы множества целых и рациональных чисел соответственно, а - произвольный счетный ординал. Всякая У. Г. G является топологич. Группой относительно интервальной топологии, в к-рой базой открытых множеств являются открытые интервалы Выпуклые подгруппы У. Г. Открыты в этой топологии. Лит.:Кокорин А. И., Копытов В. М., Линейно упорядоченные группы, М., 1972. В. М. Копытов.