Упорядоченное Множество

частично упорядоченных множеств - операция, ставящая в соответствие системе непересекающихся частично упорядоченных множеств где множество индексов Lтакже частично упорядочено, новое частично упорядоченное множество элементами к-рого являются элементы теоретико-множественного объединения множеств Р a, а порядок устанавливается следующим образом. Во множестве Р. Тогда и только тогда когда или и в или и Важнейшими частными случаями У. С. Являются кардинальная и ординальная суммы. Перв..

частично упорядоченное кольцо,- кольцо R(не обязательно ассоциативное), являющееся частично упорядоченной группой по сложению, в к-ром для любых a, b, неравенства и влекут за собой неравенства и Всякое кольцо является У. К. С тривиальным порядком. Примерами У. К. Служат также упорядоченные поля;кольцо действительных функций на множестве X, где означает, что для всех кольцо матриц над У. К. R, где, по определению, если для всех i, j. Если Л - У. К., то множество наз. Его положительн..

- линейно упорядоченное кольцо, являющееся полем. Классич. Пример - поле действительных чисел с обычным порядком. Напротив, поле комплексных чисел не может быть превращено в У. П., поскольку поле допускает порядок, превращающий его в У. П., тогда и только тогда, когда -1 не представима в нем как сумма квадратов. Такие поля наз. Формально действительными. Они возникают, напр., если к какому-либо У. П. Присоединить все квадратные корни из всех его положительных элементов. Расширение РУ. П. Kназ. ..

группоид Н, множество элементов к-рого частично упорядочено отношением и, кроме того, операция и порядок связаны аксиомой Если У . Г . Н подчиняется более сильной аксиоме то порядок в H наз. Строгим, а Н - строгим частично упорядоченным группоидом. Частично У. Г. Наз. Сильным, если Сильный частично У. Г. Всегда является строгим, а для линейно У. Г. Эти два понятия совпадают. Элемент аУ. Г. Нназ. Положительным (строго положительны м), если для всех справедливы неравенства и (соотве..