Упорядоченное Поле

- линейно упорядоченное кольцо, являющееся полем. Классич. Пример - поле действительных чисел с обычным порядком. Напротив, поле комплексных чисел не может быть превращено в У. П., поскольку поле допускает порядок, превращающий его в У. П., тогда и только тогда, когда -1 не представима в нем как сумма квадратов. Такие поля наз. Формально действительными. Они возникают, напр., если к какому-либо У. П. Присоединить все квадратные корни из всех его положительных элементов. Расширение РУ. П. Kназ. Упорядоченным, если Р - У. П., содержащее kв качестве упорядоченного подполя. Это имеет место в том и только в том случае, когда -1 не представима в виде суммы элементов вида где и У. П. Наз. Действительно замкнутым, если оно не обладает отличными от себя самого упорядоченными расширениями.

Порядок действительно замкнутого поля единствен. Эквивалентны следующие свойства У. П. K:(1) kдействительно замкнуто. (2) расширение k(i), где i2=-1, алгебраически замкнуто. (3) каждый положит. Элемент из kявляется квадратом ц каждый многочлен нечетной степени над kимеет корень в k. Каждое формально действительное поле обладает действительно замкнутым упорядоченным алгебраич. Расширением. Если k - У. П., то имеет смысл обычное определение фундаментальной последовательности (см. Действительное число). Совокупность фундаментальных последовательностей при надлежащем отождествлении и определении операций превращается в упорядоченное расширение поля k. Если kархимедово, то изоморфно У. П. Действительных чисел. Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра.

Многочлены и поля. Упорядоченные группы, цер. С франц., М., 1965. [2] Ван дер Вардeн Б. Л., Алгебра, пер. С нем., 2 изд., М., 1979. [3] Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. С англ., М., 1965. Л. А. Скорняков.