Ферми - Дирака Статистика

статистика Ферми,- квантовая статистика, применимая к системам тождественных частиц с полуцелым спином (1/2,3/2, 5/2, . В единицах эрг х сек). Предложена Э. Ферми (Е. Fermi, 1926), ее квантово-механич. Смысл выяснен П. Дираком (P. Dirac, 1926). Согласно Ф.- Д. С. В каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы (принцип Паули). Для системы частиц, подчиняющихся Ф.- Д. С., квантовомеханич. Состояния описываются волновыми функциями, антисимметричными относительно перестановок частиц (т. Е. Их координат и спинов), а для Бозе - Эйнштейна статистики она симметрична. Квантовое состояние идеального газа определяется заданием совокупности чисел заполнения уровней системы в пространстве импульсов р и спинов где каждое указывает число частице импульсом р п спином В случае Ф.-Д.

С. Может быть равным нулю или единице. Газ является системой из очень большого числа частиц, поэтому его квантовые уровни расположены очень плотно и стремятся к непрерывному спектру при стремлении объема к бесконечности. Уровни энергии удобно сгруппировать по малым ячейкам, содержащим G;уровней в ячейке. Каждой ячейке соответствует средняя энергия ei, а число Gi предполагается очень большим. Квантовомеханич. Состояние системы определяется набором {Ni},где Ni - число частиц в ячейке, т. Е. Сумма по уровням ячейки. Число различных распределений частиц по ячейкам (т. Е. Статистич. Вес состояния идеального газа Ферми - Дирака) равно и определяет вероятность распределения частиц по ячейкам, к-рые характеризуются числами заполнения N1, N2, .

Статистич. Вес вычислен с помощью комбинаторного анализа с учетом неразличимости частиц и того, что в каждом состоянии не может быть более одной частицы. Наиболее вероятное распределение частиц по квантовым состояниям, соответствующее заданной энергии Еи числу частиц N находится из экстремума статистич. Веса (1) при дополнительных условиях (2). Соответствующие средние числа заполнения равны где - химич. Потенциал, k - постоянная Больцмана (универсальная постоянная k -1,38 x 10-16 эрг/град), Т - абсолютная температура. Величины и m находятся из условий (2). Энтропия идеального газа Ферми определяется логарифмом статистич. Веса (1) для наиболее вероятного распределения (3) где суммирование ведется по всем ячейкам.

С помощью энтропии можно вычислить свободную энергию и другие термодинамич. Функции. В случае неидеального газа Ферми вычисление термодинамич. Функций является сложной проблемой и не сводится к простой задаче комбинаторного анализа. Их вычисление основано на методе Гиббса с учетом Ф.- Д. С. Если известен оператор Гамильтона Я системы, то свободная энергия равна где операция шпура берется по состояниям, удовлетворяющим требованиям Ф.- Д. С., т. Е. По антисимметрическим волновым функциям. Этого можно достигнуть, если для H использовать представление, в к-ром его действие определено в пространстве волновых функций и чисел заполнения, т. Е. Перейти к представлению вторичного квантования. Лит. См. При ст. Бозе- Эйнштейна статистика.

Д. Н. Зубарев.