Шварца Альтернирующий Метод

один из общих методов решения Дирихле задачи, позволяющий получить решение задачи Дирихле для дифференциального уравнения эллиптич. Типа в областях D, представимых в виде объединения конечного числа областей Di, для к-рых решение задачи Дирихле уже известно. Работы Г. Шварца (1869. См. [1]) и ряд последующих работ других авторов были посвящены Ш. А. М. Решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в плоских областях. Сущность III. А. М. Применительно к простейшему случаю уравнения Лапласа в объединении двух плоских областей заключается в следующем. Пусть Аи В - две области на плоскости, имеющие непустое пересечение и такие, что решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа для каждой из них известно. Напр., если . И В - круги, то решение задачи Дирихле для каждого из них дается интегралом Пуассона.

Пусть, далее, D - объединение областей . И В, для к-рого требуется найти решение задачи Дирихле (см. Рис.). Через обозначена граница области А, через - части границы попавшие в В(они входят в D). А через - оставшиеся части, так что Аналогично - граница области В, - ее части, попавшие в A (они тоже входят в D),- оставшиеся части, то есть Тогда граница области Dможет быть представлена в виде Пусть теперь на задана непрерывная функция / и пусть требуется найти гармонич. Функцию wв D, непрерывную в замкнутой области и принимающую на значения функции f. Сужение функции f на продолжается непрерывно на всю границу и для этих граничных значений находится решение u1 задачи Дирихле в А . Значения и 1 на вместе со значениями f на образуют теперь непрерывную функцию на для к-рой находится решение v1 задачи Дирихле в В.

Далее, решение и 2 задачи Дирихле в Астроится по значениям функции f на и функции v1 на и т. Д. Искомая функция имеет вид Применение ограниченных решений задачи Дирихле для кусочно непрерывных граничных данных позволяет полагать, не заботясь о непрерывном продолжении f, значения равными нулю на оставшихся частях границ. Метод, аналогичный Ш. А. М. (см. [2]), может быть применен к отысканию решения задачи Дирихле в пересечении двух областей Aи В, если ее решения для Аи Визвестны. Ш. А. М. Используется и при решении краевых задач более общей природы для общих уравнений эллиптич. Типа (в том числе и порядка выше второго), подчиненных нек-рым дополнительным условиям [3], причем также и в пространственных областях.

Важное значение имеет Ш. А. М. Для построения гармонич. Функций различного вида (с наперед заданными особенностями) на римановых поверхностях [4]. Лит. [1] SсhwarzН., Ges. Math. Abh., Bd 2, В., 1890. [2] Neumann С., лBer. Verhandl. Sachsisch. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-naturwiss. K1.