Шевалле Группа

-линейная алгебраич. Группа над нек-рым полем, связанная с полупростой комплексной алгеброй Ли. Пусть -Ли полупростая алгебра над -ее подалгебра Картана, -система корней алгебры относительно -система простых корней, -базис Шевалле алгебры - его линейная оболочка над И пусть -точное представление алгебры Ли в конечномерном векторном пространстве V. Оказывается, что в . Существует решетка (т. Е. Свободная абелева подгруппа, базис к-рой является базисом пространства V), инвариантная относительно всех операторов m-натуральное число). Если k- произвольное поле и то определены гомоморфизмы заданные формулами Подгруппы порождают в GL (Vk) нек-рую подгруппу Gk, к-рая и наз. Группой Шевалле, связанной с алгеброй Ли представлением полем k.

В случае, когда (присоединенное представление), Ш. Г. Были определены К. Шевалле (С. Chevalley) в 1955 (см. [1]). Если К - алгебраически замкнутое поле, содержащее k, то Ш. Г. С K есть связная полупростая линейная алгебраич. Группа над К. Определенная и разложимая над простым подполем Ее алгебра Ли изоморфна Группа Gk является коммутантом группы GK(k) точек группы GK, рациональных над k. Любая связная полупростая линейная алгебраич. Группа над K изоморфна одной из Ш. Г. Алгебраич. Группы GK (и Gk как абстрактные группы) зависят лишь от решетки порожденной весами представления Если Г j совпадает с решеткой корней Г 0, то GK наз. Присоединенной группой, а еели =Г 1 (решетка весов, см. Ли полупростая группа), то GK наз.

Универсальной, или односвяаной, группой. Если GK- универсальна, то Gk = GK(k). Ш. Г. GK всегда совпадает со своим коммутантом. Центр группы Gk конечен. Напр., центр Zуниверсальной группы Gk изоморфен Ноm (Г 1/Г 0, k*), а соответствующая присоединенная группа изоморфна Gk/Z и имеет тривиальный центр. Если алгебра проста, то присоединенная Ш. Г. Gk проста, за исключением следующих случаев. |k| =2, - алгебра Ли типов A1, B2, G2. |k|=3, -алгебра Ли типа А 1. Другие серии простых групп можно получить, рассматривая подгруппы неподвижных точек нек-рых автоморфизмов конечного порядка Ш. Г. (т. Н. Скрученные группы). Если поле k конечно, то порядок универсальной группы Gk вычисляется по формуле где q = |k|, di(i = l, . .., r) - показатели алгебры Ли т.

Е. Степени свободных образующих алгебры многочленов на инвариантных относительно Вейля группы, - число положительных корней. Имеется развитая теория рациональных линейных представлений Ш. Г. Gk над бесконечным полем k, сводящаяся к случаю алгебраически замкнутого поля, а в последнем случае совпадающая с теорией рациональных представлений полупростых алгебраич. Групп. Если проста, Gk- универсальная Ш. Г. Над бесконечным полем . И -нетривиальное неприводимое конечномерное представление группы Gk (как абстрактной группы) над алгебраически замкнутым полем K, то, существуют такой конечный набор вложений и такой набор рациональных представлений групп что По поводу представлений Ш. Г. См. Также [2], [3], [5]. Лит.:[1] Шевалле К., лМатематика.