Штейна Пространство

голоморфно полное пространство,- паракомпактноо комплексное аналитич. Ространство обладающее следующими свойствами. 1) любое компактное аналитич. Одмножество в Xконечно. 2) любой компакт допускает такую открытую окрестность Wв X, что множество компактно (слабая голоморфная выпуклость). Комплексное многообразие Мтогда и только тогда является Ш. П., когда М - Штейна многообразие. Комплексное пространство является Ш. П. Тогда и только тогда, когда этим свойством обладает его редукция. Всякое голоморфно выпуклое открытое подпространство в Ш. П. Является Ш. П. Приведенное комплексное пространство штейново тогда и только тогда, когда его нормализация есть III. П. Всякое замкнутое аналитич. Одпространство в Ш. П., напр. В есть Ш.

П. Всякое конечномерное Ш. П. Допускает собственное инъективное голоморфное отображение в нек-рое регулярное в каждой неособой точке. Всякое неразветвленное накрытие Ш. П. Есть Ш. П. Прямое произведение двух Ш. П. Есть Ш. П. Тем же свойством обладает во многих случаях голоморфное расслоение, база и слой к-рого суть III. П. (напр., если структурной группой является комплексная группа Ли с конечным числом связных компонент). Однако существуют примеры голоморфных расслоений со слоем и базой не являющихся многообразиями Штейна [2] . Пусть -когерентный аналитич. Чок на Ш. П. Тогда справедливы Картана теоремы,. A) Пространство порождает слой пучка в любой точке B) для всех q> 0. Обратно, если для любого когерентного пучка идеалов то X - Ш.

П. Область является многообразием Штейна тогда и только тогда, когда Из теорем Картана следует, что на Ш. П. Всегда разрешима 1-я проблема Кузена, а если -то и 2-я проблема Кузена (см. Кузена проблемы). На любом многообразии Штейна Xразрешима проблема Пуанкаре, т. п,aгруппа не имеет кручения. Если X - многообразие, то Xгомотопически эквивалентно n-мерному клеточному комплексу. С другой стороны, для любой счетной а белевой группы Gи для любого существует область голоморфности такая, что G Важное направление в теории Ш. П. Связано с изучением плюрисубгармонич. Функций на них (см. Левви проблема, Псевдовыпуклость и псевдовогнутость). Основной результат здесь состоит в характеризации Ш. Н. Как пространства, на к-ром существует исчерпывающая ого сильно 1-псевдовыпуклая функция.

Алгебры голоморфных функций на Ш. П. X(т. Н. Штейновы алгебры) обладают следующими свойствами. Для максимального идеала эквивалентны условия. I замкнут в относительно топологии компактной сходимости. для нек-рой точки I конечно порожден. Если Xконечномерно, то каждый характер имеет вид для нек-рой точки Если - два конечномерных Ш. П. С изоморфными алгебрами причем любой изоморфизм 'непрерывен и индуцируется нек-рым изоморфизмом комплексных пространств. Большую роль в теории III. И. Играет т. Н. Принцип Ока, согласно к-рому многие задачи разрешимы на Ш. П. В классе аналитич. Ций тогда и только тогда, когда они разрешимы в классе гладких непрерывных функций. Этому принципу удовлетворяет, напр., 2-я проблема Кузена. Более общим является следующее утверждение.

Классификация главных аналитических расслоений, базой к-рых является заданное приведенное Ш. П. X, а структурной группой - заданная комплексная группа Ли G, совпадает с классификацией тонологич. Расслоений с той же базой и структурной группой. Совпадают также группы связных компонент в группах аналитических и непрерывных функций Лит.:[1] Grаuеrt Н., Rеmmert H., Theorie der Sleinschen Raume, В.- Hdlb - N. Y., 1977. [2] Demaillу J.-P., "Invent. Math..