Штифеля Число

- характеристическое число замкнутого многообразия, принимающее значения вычетов по модулю 2. Пусть - произвольный стабильный характеристич. Класс, М - замкнутое многообразие. Вычет по модулю 2, определяемый равенством наз. Числом Штифеля (или Штифеля - Уитни) многообразия М, соответствующим классу х. Здесь -касательное расслоение многообразия М, а - фундаментальный класс. Для многообразий размерности n Ш. Ч. Зависят лишь от однородной компоненты степени пкласса х. Группа изоморфна векторному пространству над полем с базисом, находящимся во взаимно однозначном соответствии с множеством всех разбиений w={i1, . Ik} числа п, т. Е. Наборов (i1, . Ik) целых неотрицательных чисел с i1+ .....+ ik = n. В качестве базиса группы естественно взять классы Поэтому с точки зрения характеризации многообразия его Ш.

Ч. Достаточно рассматривать классы где -разбиение размерности многообразия. Бордантные многообразия имеют одинаковые Ш. Ч., так что каждый характеристич. Класс хопределяет гомоморфизм где -группа классов бордантных неориентированных многообразий размерности п. Если для двух замкнутых многообразий М, N имеет место равенство при всех разбиениях числа то многообразия Ми N бордантны (теорема Тома). Пусть А- векторное пространство над полем Пусть -базис в пространстве А, дуальный базису пространства здесь -разбиения числа n. И пусть отображение определено формулой Отображение мономорфно и для полного описания группы в терминах Ш. Ч. Нужно найти его образ. Эта проблема аналогична проблеме Милнора - Хирцебруха для Чжэня классов.

Для замкнутого многообразия Мпусть т. Н. Класс By, к-рый однозначно определен равенством имеющим место при всех Тогда где -касательное расслоение к М(теорема By). Из этой теоремы видно, что класс By может быть определен как нек-рый характеристич. Класс. Пусть где -полный Штнфеля-Уитни класс, а -когомологич. Операция, обратная к полному Стинрода квадрату Sq. Пусть - произвольный характеристич. Класс. Тогда, для любого замкнутого многообразия числа и совпадают. Таким образом, для того чтобы элемент лежал в образе отображения необходимо, чтобы для всех имело место равенство Для гомоморфизма тогда и только тогда существует такое многообразие М п, что .[ М п]=а (х) при всех когда при всех (теорема Дольда).

Лит. См. При статье Штифеля- Уитни кла сс. А. Ф. Харшиладзе.