Эллиптическая Кривая

- неособая полная алгебраическая кривая рода 1. Теория Э. К. Является истоком большей части современной алгебраич. Геометрии. Но исторически теория Э. К. Возникла как часть анализа, как теория эллиптических интегралов и эллиптических функций. Примеры. Неособая проективная плоская кубич. Кривая, пересечение двух неособых квадрик в трехмерном проективном пространстве, двулистное накрытие проективной прямой, разветвленное ровно в четырех точках, а также одномерное абелево многообразие и главное однородное пространство над ним являются Э. К. Геометрия Э. К. Пусть X - Э. К. Над алгебраически замкнутым полем k. Тогда Xбирегулярно изоморфна плоской кубич. Кривой (см. [1], [9], [13]). Если то в проективной плоскости Р 2 существует аффинная система координат, в к-рой Xимеет уравнение в нормальной форме Вейерштрасса Кривая Xнеособа тогда и только тогда, когда многочлен х 3+ах+b не имеет кратных корней, т.

Е. Дискриминант В Р 2 кривая (1) имеет единственную точку на бесконечности, к-рую обозначают Р 0. Р0 - точка перегиба кривой (1), а касательная в P0 - бесконечно удаленная прямая, j-инвариант Э. К. X не зависит от выбора системы координат. Равенство j-инвариантов двух Э. К. Равносильно тому, что эти Э. К. Бирегулярно изоморфны. Для любого найдется Э. К. Xнад kс j(X)=j. Групповая структура на Э. К. Пусть - фиксированная точка Э. К. X. Отображение сопоставляющее точке дивизор Р-Р0 на Э. К. X, устанавливает взаимно однозначное соответствие между Э. К. Xи группой классов дивизоров степени 0 на X, т. Е. Пикара многообразием кривой X. Это соответствие переносит на Xструктуру коммутативной группы, к-рая согласована со структурой алгебраич.

Многообразия и превращает X в одномерное абелево многообразие (X, Р0). точка Р 0 при этом является нулем группы. Введенная групповая структура допускает следующее геометрич. Описание. Пусть - плоская кубич. Кривая. Тогда сумма точек Ри Qопределяется правилом где - третья точка пересечения кривой Xс прямой, проходящей через точки Ри Q. Иначе говоря, сумма трех точек на Xравна нулю тогда и только тогда, когда они лежат на одном прямой. Э. К. Как одномерное абелево многообразие. Пусть п X обозначает эндоморфизм умножения на в (X, Р 0). Если (Y, Q0) - Э. К. С отмеченной точкой Q0,то любое рациональное отображение имеет вид f(P) = h(P)+Q1, где - гомоморфизм абелевых многообразий. При этом гомоморфизм hявляется либо постоянным отображением в точку Q0, либо изогенией, т.

Е. Существует гомоморфизм абелевых многообразий такой, что для нек-рого п(см. [1], [6]). Группа автоморфизмов Э. К. А* действует транзитивно на А. А ее подгруппа G=Aut(X, P0) автоморфизмов, оставляющих на месте точку Р 0, нетривиальна и конечна. Пусть char kотлична от 2 и 3. Если j(X)не равно 0 или 1728, то группа Gсостоит из двух элементов 1X и (- )X. Порядок Gравен 4 при j(X) =1728 и 6 при j(X)=0 (см. [1], [6], [13]). Важным инвариантом Э. К. Является кольцо эндоморфизмов R=End(X, P0) абелева многообразия (X, Р 0). Отображение определяет вложение Если то говорят, что X - Э. К. С комплексным умножением. Кольцо R может быть одного из следующих типов (см. [1], [9], [13]). I. II.Здесь -кольцо целых алгебраич. Чисел мнимого квадратичного поля III.

R - некоммутативная -алгебра ранга 4 без делителей нуля. В этом случае р=char k>0 и R- порядок в алгeбре кватернионов над разветвленной только в р и Такие Э. К. Существуют для всех ри наз. Сулерсингулярными. Несунерсингулярные Э. К. В характеристике р наз. Обыкновенными Э. К. Группа Х n= Кеr п X точек Э. К. X, порядок к-рых делит п, имеет следующую структуру. если (n, char k) = 1. При р = char k > 0 для обыкновенных Э. К. а для суперсингулярных Э. К. Для простого Тейта модуль Tl(X)изоморфен Э. К. Над незамкнутыми полями. Пусть X - Э. К. Над произвольным полем k. Если множество k-рациональных точек X(k)кривой Xнепусто, то Xбирегулярно изоморфна плоской кубич. Кривой (1) с 3). Бесконечно удаленная точка P0 кривой (1) определена над k.

Как и выше, можно определить групповую структуру на кривой (1), превращающую Xв одномерное абелево многообразие над k, а множество X(k)в коммутативную группу с нулем P0. Если kконечно порождено над своим простым под-полем, то X(k) - группа с конечным числом образующих (теорема Морделла - Вейля). Для любой Э. К. Xопределено Якоби многообразие J(X), являющееся одномерным абелевым многообразием над k. Э. К. Xявляется главным однородным пространством над J(X). Если множество X(k)непусто, то выбор точки задает изоморфизм X~J(X), при к-ром точка Р 0 переходит в нуль группы J(X). В общем случае Э. К. Xи J(X)изоморфны над конечным расширением поля k(см. [1], [4), [13]). Э. К. Над полем комплексных чисел. Э. К. Xнад является компактной римановой поверхностью рода 1 и обратно.

Групповая структура превращает Xв комплексную группу Ли, являющуюся одномерным комплексным тором где -решетка в комплексной плоскости Обратно, любой одномерный комплексный тор является Э. К. (см. [3]). С топологич. Точки зрения Э. К.- двумерный тор. Теория Э. К. Над полем по существу, эквивалентна теории эллиптич. Функций. Отождествление тора с Э. К. Осуществляется следующим образом. Эллиптич. Функции с данной решеткой периодов L образуют поле, порожденное -функцией Вейерштрасса (см. Вейерштрасса эллиптические функции )и ее производной к-рые связаны соотношением Отображение индуцирует изоморфизм тора и Э. К. с уравнением у 2=4x3-g2x-g3. Отождествление Э.