Эллиптическая Функция

в собственном смысле - двоякопериодическая функция, мероморфная в конечной плоскости комплексного переменного г. Э. Ф. Обладают следующими основными свойствами. Не существует целых Э. Ф., кроме констант (теорема Лиувилля). Пусть - примитивные периоды Э. Ф. F(z), Сумма вычетов всех полюсов f(z) в ее параллелограмме периодов равна нулю. Пусть r - число полюсов (с учетом их кратности) Э. Ф. F(z) в параллелограмме периодов Тогда f(z) принимает в каждое конечное значение с учетом кратности в точности rраз. Число r наз. Порядком Э. Ф. Не существует Э. Ф., порядок к-рых меньше 2. Если ai и bi, i=l, . ., r,- все нули и полюсы Э. Ф. F(z) в ее параллелограмме периодов с учетом их кратности, то сумма сравнима с нулем по модулю периодов, т.

Е. где m1, т 3 - целые числа (частный случай теоремы Абеля, см. Абелева функция). Все Э. Ф. С фиксированными примитивными периодами образуют алгебраич. Поле Э. Ф. С двумя образующими. В качестве этих образующих можно взять, напр., функцию Вейерштрасса и ее производную (см. Вейерштрасса эллиптические функции). Производная Э. Ф. Является в свою очередь Э. Ф. Того же порядка с теми же периодами. Каждая Э. Ф. Удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению 1-го порядка. Каждая Э. Ф. F(z) допускает алгебраическую теорему сложения, т. Е. Значения f(z1), f(z2), f(z1+z2) связаны неприводимым алгебраич. Уравнением с постоянными коэффициентами. Обратно, имеет место теорема Beйерштрасса. Всякая аналитич. Ция f(z), допускающая алгебраич. Теорему сложения, либо является рациональной функцией от г или от е z, либо есть Э.

Ф. Иногда применяется более общая терминология, связанная с теорией тета-функций. Э. Ф. III рода наз. Всякая мероморфная функция f(z), удовлетворяющая функциональному уравнению где а i, bi - нек-рые постоянные. Если a1=a3=0, то f(z) наз. Э. Ф. II рода. Если а 1=a3=b1=b3=0, то f(z) наа. Э. Ф. I рода, или Э. Ф. В собственном смысле. По атой терминологии тета-функций Якоби (см. Якоби эллиптические функции )и сигма-функции Вейерштрасса (см. Вейерштрасса эллиптические функции) суть Э. Ф. III рода. Впервые эллиптические интегралы исследовались в работах ученых кон. 17 - нач. 19 вв. Я. Бернулли (J.Bernoulli), И. Вернулли (J. Bernoulli), Дж. К. Фаньяно деи Тоски (G. С. Fagnano dei Toschi), Л. Эйлера (L. Euler), А. Лежандра (A. Legendre) конца 17-начала 19 вв. Эти интегралы появились в задачах вычисления длины дуги эллипса и других кривых 2-го порядка.

Они имеют вид где R - рациональная функция от переменных z и w, связанных алгебраич. Уравнением в к-ром справа стоит многочлен 4-й или 3-й степени без кратных корней. Подынтегральная функция однозначна на двулистной компактной римановой поверхности Fрода g=l с четырьмя точками ветвления. Дифференциалы I, II и III рода на F(см. Дифференциал на римановой поверхности )порождают соответственно эллиптич. Интегралы I, II и III рода. Интеграл I рода является главной униформизирующей поверхности . И поля алгебраич. Функций, порождаемых F. Если принять его за независимую переменную, то это поле переходит в поле Э. Ф. Идея непосредственного обращения эллиптич. Интегралов в нормальной форме Лежандра возникла и была развита в работах Н.

Абеля (N. Abel) и К. Якоби (С. Jacobi) в нач. 19 в. Развитое К. Якоби построение Э. Ф. На основе тета-функций имеет основное значение для приложений Э. Ф. Теоретически более простое построение поля Э. Ф., при к-ром в качестве образующих берутся функция и ее производная, было дано К. Вейерштрассом (К. Weierstrass) в 70-х гг. 19 в. При развитии теории Э. Ф. Одной из основных является проблема преобразования Э. Ф. И связанных с ними величин при переходе от примитивных периодов к другим примитивным периодам связанным соотношениями где - целые числа такие, что - натуральное число, называемое порядком преобразования. Площадь параллелограмма периодов в праз больше площади параллелограмма периодов При п=1 получаются преобразования модулярной группы, откуда возникла связанная с Э.

Ф. Теория модулярных функций. Э. Ф. Можно трактовать как мероморфные функции, инвариантные относительно преобразований группы сдвигов комплексной плоскости. Обобщение этого подхода привело к рассмотрению автоморфных функций, инвариантных относительно дробно-линейных отображений, составляющих группы более общей природы. Э. Ф. И модулярные функции суть частные случаи автоморфных функций. Обращение эллиптич. Интегралов сразу же привело к Якоби проблеме обращения более общих абелевых интегралов где переменные z и w связаны произвольным алгебраич. Уравнением. На этом пути получаются абелевы функции- обобщение Э. Ф. На случай нескольких комплексных переменных. Э. Ф. И эллиптич. Интегралы находят многочисленные применения (как специальные функции) во многих разделах анализа, как средство униформизации в алгебраич.

Геометрии, а также в механике, электродинамике и других прикладных областях. Лит.:[1] Ахиезер Н. И., Элементы теории эллиптических функций, 2 изд., М., 1970. [2] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. С нем., ч. 2, М., 1968. [3] Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. С англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963. [4] Журавский А. М., Справочник по эллиптическим функциям, М.- Л., 1941. [5] Кnneper A., Elliptische Functionen. Theorie und Geschichte, 2 Aufl., Halle, 1890. [6] Тannery J., Molk J., Elements de la theories desfonctions elliptiques, t. 1-4, P., 1893- 1902. Е. Д. Соломенцев.