Энергия Мер

- понятие потенциала теории, являющееся аналогом физич. Понятия потенциальной энергии системы электрич. Зарядов. Пусть для точек x=(x1, . ., xn) евклидова пространства - фундаментальное решение уравнения Лапласа и - ньютонов (при или логарифмический (при п=2)потенциал борелевской меры на Ограничиваясь пока случаем определяют взаимную энергию неотрицательных мер m и v равенством причем но может оказаться Энергия мер ы - это число Для мер произвольного знака можно воспользоваться канонич. Разложениями (или любыми разложениями вида и определить взаимную Э. М. Равенством причем взаимная Э. М. Может оказаться и отрицательной, но Совокупность всех мер с конечной энергией превращается в предгильбертово векторное пространство со скалярным произведением и энергетической нормой При этом выполняются 1) неравенство Буняковского и 2) принцип энергии.

Если то А. Картан (Н. Cartan) показал, что пространство не является полным, но множество неотрицательных мер полно в Пусть K - компакт в Среди всех вероятностных мер на К, т. Е. Таких, что существует экстремальная емкостная мера с минимальной Э. М. к-рая связана с емкостью С(К)компакта Ксоотношением Если потенциал меры допускает градиент с суммируемым квадратом, то имеет место равенство где - нормаДирихле, а На самом деле равенство (5) остается в силе для любой меры причем норма Дирихле определяется при помощи соответствующего предельного перехода. В случае плоскости непосредственное применение для определения Э. М. Формулы (3) с логарифмич. Потенциалом (2) невозможно вследствие особого поведения логарифмич.

Ядра (1) на бесконечности. Пусть - ограниченная область пространства допускающая функцию Грина g(x, у), и - борелевская мера на Применяя в (3) вместо потенциалов Uv(x)потенциалы Грина вида получают при определение Э. М., равносильное данному выше для мер на к-рое, однако, оказывается пригодным и при п=2 с сохранением всех описанных свойств (причем Лит.:[1] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. С франц., М., 1964. [2] Уэрмер Дж., Теория потенциала, пер. С англ., М., 1980. [3] Ландкоф Н. С., Основы современной теории потенциала, М., 1966. К. Д. Соломенцев.