Энтропия

метрическая динамической системы - один из важнейших инвариантов в эргодической теории. Основным является понятие Э. H(S)эндоморфизма S (см. Метрический изоморфизм) Лебега пространства Для любого конечного измеримого разбиения существует предел (энтропия на единицу времени относительно S) где -энтропия измеримого разбиения а - разбиение, элементы к-рого суть пересечения элементов разбиений и (это определение дословно переносится на с другим способом определяется для любых измеримых Э. H(S)определяют как верхнюю грань по всевозможным конечным измеримым (они может равняться использование всех с или всех измеримых дает ту же Э.). Первоначально Э. Была определена А. Н. Колмогоровым несколько иначе (см.

[1]). Приведенный выше вариант был дан позже (см. [2]). В основном случае апериодического автоморфизма пространства Лебега определения в конечном счете - эквивалентны [3]. Оказывается, что h(Sn)=nh(S). Аесли S - автоморфизм, то h(S-1)=h(S). Поэтому Э. каскада{Sn}естественно считать h(S). Для измеримого потока{St} оказывается, что h(St)=|t|h(S1). Поэтому Э. Потока естественно считать h(S1). Несколько иначе определяется Э. Для других групп преобразований с инвариантной мерой (она уже не сводится к Э. Одного из преобразований, входящих в эту группу. См. [5], [6]). Имеется модификация Э. Для случая бесконечной инвариантной меры [7]. Еще одна модификация - А - энтропия (где А = {k,,} - возрастающая последовательность натуральных чисел) - получается при замене на и lim на (см.

[8]). Э. Является инвариантом метрического изоморфизма динамич. Систем, принципиально отличным от известных ранее инвариантов, в основном связанных со спектром динамической системы. В частности, с помощью энтропии Бернулли автоморфизмов (см. [1]) впервые установлено существование неизоморфных яргодич. Систем с одинаковым непрерывным спектром (что контрастирует с ситуацией для дискретного спектра). В более широком плане роль Э. Связана с тем, что вместе с ней п эргодич. Теории возникло новое направление - энтропийная теория динамич, систем (см. [3], [4] и эргодическая теория). Э. Дает нек-рую среднюю характеристику скорости перемешивания множества малой меры (точнее, набора таковых, образующих разбиение). Наряду с этой лглобальной.