Алгебраическое число

число а, удовлетворяющее алгебраическому уравнению a1αn+ . + акα +an+1 = 0, где n ≥ 1, a1, ..., an, an+1 — целые (рациональные) числа. Число α называется целым А. Ч., если a1 = 1. Если многочлен f(x) = a1xn + . + anx + an+1 не является произведением двух др. Многочленов положительной степени с рациональными коэффициентом, то число n называется степенью А. Ч. Α. Простейшие А.ч. — корни двучленного уравнения xn = а, где а — рациональное число. Например, А. Ч. Будут рациональные числа, числа целыми А. Ч. Будут целые числа, числа С понятием А. Ч. Тесно связаны два больших направления в теории чисел. 1) Арифметика А. Ч. (алгебраическая теория чисел), созданная Э. Куммером в середине 19 в., изучает свойства А. Ч. Целые А. Ч. Обладают рядом свойств, аналогичных свойствам целых рациональных чисел, однако теорема об единственности разложения числа на простые множители не имеет места в теории целых А.

Ч. Для сохранения единственности разложения Куммер ввёл в рассмотрение т. Н. «идеальные» числа (см. Идеал). 2) Теория приближения А. Ч. Изучает степень приближения А. Ч. Рациональными числами или алгебраическими же числами. Первым результатом в этом направлении была теорема Ж. Лиувилля (См. Лиувилль), показывающая, что А. Ч. «плохо» приближаются рациональными числами, точнее. Если α - А. Ч. Степени n, то при любых целых рациональных р и q имеет место неравенство [α - p/q] > C/qn, где С = С(α) > 0 — постоянная, не зависящая от р и q, отсюда следует, что легко построить произвольное количество неалгебраических — трансцендентных чисел (См. Трансцендентное число). Лит. Гекке Э., Лекции по теории алгебраических чисел, пер. С нем., М. — Л., 1940.

Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952. Боревич З. И., Шафаревич И. P., Теория чисел, М., 1964. А. А. Карацуба.