Аддитивная Теория Идеалов

одна из ветвей современной алгебры. Главная задача А. Т. И.- представление любого идеала кольца (или другой алгебраич. Системы) в виде пересечения конечного числа идеалов специального вида (примерных, терциарных, при-мальных, одночастных и др.). При этом вид представлений выбирается так, что. 1) для любого идеала существует нужное представление, или, что то же, справедлива нек-рая теорема "существования". 2) выбранные представления должны быть единственны с точностью до каких-то ограничений, или, что то же, выполняется нек-рая теорема "единственности". Начало А. Т. И. Было положено в 20-30-х гг. 20 в. Работами Э. Нётер [1] и В. Крулля [2]. Все особенности А. Т. И. Отчетливо проявляются в случае колец. Пусть - нётерово кольцо, т.

Е. - ассоциативное кольцо с условием максимальности для идеалов. Если А - идеал в R, то существует наибольший идеал Nкольца R, обладающий свойством. Для нек-рого натурального Этот идеал наз. Примерным радикалом идеала А(в кольце R).и обозначается через Идеал кольца наз. Примарным, если для любых двух идеалов А, В в Rвыполняется условие. Для примарных идеалов верна теорема пересечения. Пересечение любых двух примарных идеалов с одним и тем же примарным радикалом Рсамо есть при-марный идеал с тем же радикалом Р. С помощью этой теоремы доказывается теорема существования. Если кольцо Rкоммутативно, то для любого идеала существует такое представление идеала Ав виде пересечения конечного числа примарных идеалов что ни один из идеалов А i не содержит пересечения остальных, и примарные радикалы попарно различны.

Такие представления наз. Несократимым и, или примарно редуцированными (см. [1], [4]). Для этих представлений верна теорема единственности. Если (1) и - два примарно редуцированных представления идеала при надлежащей перенумеровке идеалов Bi Именно А. Т. И. Нётеровых коммутативных колец (классич. А. Т. И.) нашла многочисленные применения в различных разделах математики. Если кольцо Rнекоммутативно, то теорема "существования", указанная выше, перестает быть верной, в то время как теоремы "единственности" и "пересечения" верны. Этот факт начиная с 30-х гг. 20 в. Привел к поискам такого обобщения классич. Примарности на некоммутативный случай, при к-ром оставалась бы справедливой и теорема "существования". Было найдено нужное обобщение (см.

[4]) - терциарность (см. Терциарный идеал). В дальнейшем было показано, что при нек-рых естественных ограничениях терциарность является единственным "хорошим" обобщением понятия примарности (см. [6], [7], [8]). В 60-е гг. 20 в. А. Т. И. Развивалась в рамках теорий решеток, систем с частными и мультипликативных систем (см. [4], [5], [6]), что дало толчок развитию, напр., А. Т. И. Неассоциативных колец, нормальных делителей группы и подмодулей модуля. .