Аддитивная Теория Чисел

раздел теории чисел, в к-ром изучаются задачи о разложении целых чисел на слагаемые заданного вида, а также алгебраич. И геометрич. Аналоги таких задач, относящиеся к полям алгебраич. Чисел и к множествам точек решетки. Эти задачи наз. Аддитивными задачами. Обычно рассматриваются аддитивные задачи о разложении больших чисел. К классич. Проблемам А. Т. Ч. Относятся. Задача о представлении числа суммой четырех квадратов, девяти кубов и т. Д. (см. Варинга проблема);задача о представлении числа в виде суммы не более трех простых (см. Гольдбаха проблема);задача о представлении числа в виде суммы простого и двух квадратов (см. Харди - Литлвуда проблема).и другие аддитивные проблемы. Для решения задач А. Т. Ч. Применяются аналитические, алгебраические, элементарные и смешанные методы, а также методы, основанные на вероятностных соображениях.

В зависимости от методов решения, аддитивные задачи входят составной частью в другие разделы теории чисел - аналитич. Теорию чисел, алгебраич. Теорию чисел, вероятностную теорию чисел. Первые систематич. Результаты в А. Т. Ч. Были получены Л. Эйлером (L. Euler, 1748), к-рый исследовал с помощью степенных рядов разложения целых чисел на положительные слагаемые. В частности, им была рассмотрена задача о разложении числа на заданное количество слагаемых. Многие классич. Задачи А. Т. Ч. Решаются методом редукции к производящим функциям, к-рый восходит к Л. Эйлеру и лежит в основе аналитич. Методов, развитых Г. X. Харди (G. H. Hardy) и Дж. И. Литлвудом (J. Е. Littlewood) и И. М. Виноградовым. Исходной является идея сопоставления заданным последовательностям степенных рядов с производящей функцией где - количество представлений числа пв виде При этом вычисляется при помощи интеграла Ко-ши.

В методе Виноградова степенные ряды заменяются тригонометрич. Суммами Из r(п).выделяется главная часть, состоящая из интервалов, распространенных на окрестности нек-рых рациональных точек. Вместо аналитич. Свойств требующих в ряде задач А. Т. Ч. Привлечения гипотез, аналогичных Римана гипотезе, центральную роль при вычислении r(n) играют чисто арифметич. Оценки тригонометрич. Сумм по методу Виноградова и законы распределения простых чисел в арифметич. Прогрессиях, получаемые трансцендентными методами теории L- функций Дирихле. Устанавливается, что в зависимости от kлибо для всех либо для достаточно больших п , либо для почти всех пвыполняется соотношение т. Е. или, наконец, для имеется асимптотич. Формула.

Наименьшее число k, удовлетворяющее одному из перечисленных условий, обозначается соответственно В случае - последовательность простых чисел, при получается теорема Виноградова. Всякое достаточно большое нечетное число может быть представлено в виде суммы трех простых чисел. При - теорема Чудакова. Почти все четные числа могут быть представлены в виде суммы двух простых чисел. Нек-рые задачи А. Т. Ч. Решаются при помощи исследования структуры множеств, получающихся в результате суммирования последовательностей заданных лишь их плотностями где Из положительности при уже следует, что Применение этого факта к задачам А. Т. Ч., в к-рых суммируются последовательности нулевой плотности, осуществляется путем конструирования из данных последовательностей новых последовательностей с положительной плотностью.

Ведущую роль при этом играют решета методы, с помощью к-рых доказывается положительность Таким способом Л. Г. Шнирельманом доказана теорема о представимости натуральных чисел в виде суммы ограниченного числа простых слагаемых, Ю. В. Линником найдено элементарное решение проблемы Варинга. // .