Векторный Анализ

- раздел векторного исчисления, в к-ром изучаются векторные поля и скалярные поля. Одним из основных понятий В. А. Для изучения скалярных полей является градиент. Скалярное поле и(М).наз. Дифференцируемым в точке Мобласти D, если приращение поля в точке Мможет быть представлено в виде. где - вектор, соединяющий точку , - расстояние между точками , а -линейная форма относительно вектора . Линейная форма единственным образом может быть представлена в следующем виде. где - не зависящий от (т. Е. Выбора точки М') вектор. Вектор наз. Градиентом скалярного поля и обозначается символом В случае, когда скалярное поле дифференцируемо в каждой точке век-рой области, является векторным полем. Градиент всегда направлен ортогонально линии (поверхности) уровня скалярного поля ис производной по направлению связан соотношением.

Для изучения векторных полей используется понятие дивергенции и ротора. Пусть векторное поле наз. Дифференцируемым в точке Мнек-рой области D, т . Е. Приращение поля в точке Мединственным образом может быть представлено в виде. где - линейный оператор, не зависящий от (от выбора точки ). Дивергенцией div авекторного поля наз. Следующий скалярный инвариант линейного оператора . (*) где - взаимные базисы (- символ Кронекера). Если - поле скоростей в установившемся потоке несжимаемой жидкости, то в точке Мозначает интенсивность источника () или стока (), находящихся в точке М, или отсутствие их (). Вихрем (ротором) векторного поля наз. Следующий векторный инвариант линейного оператора Аиз (*).

где - взаимные базисы. Вихрь векторного поля может быть интерпретирован как векторная "вращательная составляющая" этого поля. Для векторных и скалярных полей класса возможны повторные операции, напр. где - оператор Лапласа. Градиент, дивергенция и вихрь обычно наз. Основными дифференциальными операциями В. А. О свойствах основных дифференциальных операций В. А. И записи в специальных системах координат см. Вихрь, Градиент, Дивергенция. В терминах основных операций В. А. Могут быть записаны основные интегральные формулы, связывающие объемные, поверхностные и контурные интегралы. Пусть векторное поле непрерывно дифференцируемо в конечной связной области V, граница L - кусочно гладкая. Пусть S - ограниченная, полная, кусочно гладкая двусторонняя поверхность с кусочно гладкой границей .

Тогда справедлива Стокса формула. // .