Винера - Хопфа Метод

- метод решения функционального уравнения вида. где - заданные функции комплексного переменного , аналитические в полосе причем отличны от нуля в этой полосе. Функции ' - неизвестные функции комплексного переменного , стремящиеся к нулю при и подлежащие определению, причем аналнтична при аналитична при Уравнение (1) выполняется в общей полосе аналитичности Основой В.-X. М. Являются следующие две теоремы. 1) Функция , аналитическая в полосе и равномерно стремящаяся к нулю при , представима в этой полосе в виде суммы. где аналитична в полуплоскости аналитична в полуплоскости . 2) Функция , аналитическая и отличная от нуля в полосе и равномерно стремящаяся в этой полосе к единице при , представима в данной полосе в виде произведения.

где и аналитичны и отличны от нуля, соответственно, в полуплоскостях Представление (2) часто наз. Факторизацией функции Основная идея В.-X. М. Заключается в возможности факторизации функции т. Е. В возможности представления Используя (3), уравнение (1) можно переписать в виде. Поскольку аналитична в полосе, то Используя (4), получают окончательно уравнение (1) в виде. Левая часть выражения (5) представляет собой функцию, аналитическую в , а правая - функцию, аналитическую в . Так как они имеют общую полосу аналитичности, где выполняется условие (5), то существует единственная целая функция , совпадающая, соответственно, с левой и правой частями (5) в областях их аналитичности.

Отсюда т. Е. Решение уравнения (1) определено с точностью до целой функции. Если степень роста функций и ограничена на бесконечности, то будет многочленом. Тогда искомые функции определяются с точностью до постоянных, к-рые вычисляются из дополнительных условий. В.-X. М. Был разработан в [1] для решения интегральных уравнений специального вида (см. Винера - Хопфа уравнение). В дальнейшем он нашел широкое применение в различных задачах математич. Физики (см. Также [2]). Лит.:[1] Wiener N., Hopf Е., Uber cine Klasse singularer Integralgleichungen, "Sitz. Akad. Wiss.", В., 1931. [2] Нобл Б., Применение метода Винера - Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, пер. С англ., М., 1962. В. И. Дмитриев.