Гато Дифференциал

отображения f(x). Линейного пространства Xв линейное топологического пространство Y - предел в топологии пространства Y. в предположении, что он существует для всех Именно так ввел первую вариацию Р. Гато (R. Gateaux) в 1913-14. Для функционалов классического вариационного исчисления это определение было дано Ж. Лагранжем (см. Вариация функционала). Выражение не обязательно является линейным функционалом по h, хотя оно всегда есть однородная функция по hпервой степени. Отображение наз..

функционала в точке гильбертова пространства H - вектор из H, равный Гато производной функционала f в точке . Иначе говоря, Г. Г. Определяется формулой где при . В га-мерном евклидовом пространстве Г. Г. есть вектор с координатами и наз. Обычно градиентом. Понятие Г. Г. Распространяется на случай, когда X- риманово многообразие (конечномерное или гильбертово бесконечномерное), а - гладкая действительная функция на X. Направление вдоль Г. Г. Среди всех направлений, проходящих ч..

слабая производная,- наиболее распространенная в бесконечномерном анализе, наряду с Фреше производной (сильной производной), производная функционала или отображения. Производной Гато в точке х 0 тображения линейного топологич. Пространства Xв линейное топологич. Пространство Yназ. Непрерывное линейное отображение удовлетворяющее условию где при в топологии пространства Y(см. Также Гато вариация). Если отображение f имеет в точке Г. П., то оно наз. Дифференцируемым по Гато. Для Г. ..

полная кривизна двумерного компактного риманова многообразия , замкнутого или с краем, и поворот его гладкого края (границы) связаны с эйлеровой характеристикой многообразия соотношением здесь где К- гауссова кривизна, a S - площадь. где - геодезич. Кривизна, а l - длина границы. Г.- В. Т. Справедлива и для многообразия с кусочно гладкой границей, в этом случае где есть поворот границы в угловой точке. В частности, теорема справедлива на регулярных поверхностях в . К Г..