Гаусса - Бонне Теорема

полная кривизна двумерного компактного риманова многообразия , замкнутого или с краем, и поворот его гладкого края (границы) связаны с эйлеровой характеристикой многообразия соотношением здесь где К- гауссова кривизна, a S - площадь. где - геодезич. Кривизна, а l - длина границы. Г.- В. Т. Справедлива и для многообразия с кусочно гладкой границей, в этом случае где есть поворот границы в угловой точке. В частности, теорема справедлива на регулярных поверхностях в . К Г. -Б. Т. Близко подошел К. Гаусс (см. [1]), в отчетливой форме (для гомеоморфных кругу поверхностей) она опубликована О. Бонне (см. [2]). Для некомпактного полного без края аналогом Г. - Б. Т. Является неравенство Кон-Фоссена (см. [3]). Г.- Б.

Т. И приведенное неравенство верны также для выпуклых поверхностей и двумерных многообразий ограниченной кривизны. Г.- Б. Т. Обобщается для четномерных компактных римановых многообразий , замкнутых или с краем. где - объемы в и - нек-рый полином от компонент тензора кривизны , - нек-рый полином от компонент тензора кривизны и коэффициентов второй квадратичной формы (см. [4]). Г.- Б. Т. Распространена также на римановы полиэдры [5]. Другие обобщения Г. - Б. Т. Связаны с интегральными пред-_ ставлениями характеристич. Классов через параметры римановой метрики (см. [4], [6], [7]). Лит.:[1] Gauss С., Werke, Bd 8, Gott., 1900. [2] Bonnet О., "J. Ecole polytech.", 1948, t. 19, p. 1-146. [3] Кон-Фоссен С. Э., Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959.

[4] ШарафутдиновВ. А., "Сиб. Матем. Ж.", 1973 , т. 14, № 6, с. 1321-35. [5] А11еndоеrfer С. В., Wеil A., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1943, v. 53, № 1, p. 101-29. [6] Ee11s J., "Trans. Amer. Math. Soc." 1959, v. 92, № 1, p. 142 - 53. [7] Понтрягин Л. С. "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1949, т. 13, № 2. Ю. Д. Бураго .