Гильберта Инвариантный Интеграл

криволинейный интеграл от замкнутой дифференциальной формы, являющейся производной действия функционала вариационного исчисления. Для функционала ищется вектор-функция наз. Полем, так, чтобы интеграл не зависел от пути интегрирования. Если такая функция существует, то иаз. Инвариантным интегралом Гильберта. Условие замкнутости подинтегральной дифференциальной формы порождает систему уравнений с частными производными 1-го порядка. Г. И. И. Наиболее естественным путем воссоединяет теорию Вейерштрасса и теорию Гамильтона-Якоби. Значение Г. И. И. На кривых, соединяющих точки и , становится, в силу инвариантности , функцией этой пары точек и наз. Действием. Линия уровня наз. Трансверсалями поля . Решения уравнения являются экстремалями функционала .

Обратно, если нек-рая область покрыта полем экстремалей, то интеграл , построенный по функции , равной производной экстремали, проходящей через , есть Г. И. И. Возможность подобного окружения, а значит, и построения Г. И. И., формулируется обычно в виде Якоби условия. Если кривая проходит в области, покрытой полем, через точки и , соединенные также экстремалью , то инвариантность Г. И. И. И равенство позволяют получить Вейерштрасса формулу для приращения функционала, а следовательно, и достаточное Вейерштрасса условие экстремума. При закрепленной точке действие есть функция точки и Переход, к каноническим координатам позволяет записать Г. И. И. В виде при этом Эти соотношения эквивалентны уравнению Гамильтона - Якоби.

Интеграл для поля геодезических был введен Э. Бельтрами [1] в 1868, а в общем случае - Д. Гильбертом [2] - [4] в 1900. Лит.:[1] Вeltrami Е., "Rend. Ist. Lombardo Sci. Let.", 1868, v. 1, № 2, p. 708-718. [2] Hi1bert D., "Nachr. Ges. Wiss. Gottingen", 1900, S. 253-97. [3] Проблемы Гильберта, М., 1969, с. 57-63. [4] Hilbert D., "Math. Ann.", 1906, Bd 62, S. 351-70. [5] Ахиезер Н. И., Лекции по вариационному исчислению, М., 1955, с. 55-6. [6] Гельфанд И. М., Фомин С. В., Вариационное исчисление, М., 1961, с. 135- 146. [7] Caratheodory С., Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordmmg, B.- L., 1935. [8] Янг Л., Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления, пер. С англ., М., 1974. В. М. Тихомиров.