Гиперболическое Множество

гладкой динамической системы {St} - компактное подмножество Fфазового многообразия М, целиком состоящее из траекторий, в окрестности каждой из к-рых поведение (по отношению к ней) всех соседних траекторий (включая и те, к-рые не лежат в F).напоминает поведение траекторий возле седла. Точнее, Г. М. Гладкой динамич. Системы - это такое компактное инвариантное подмножество Fфазового многообразия М, что в каждой точке в касательном пространстве к Мимеются подпространства и , для к-рых выполняются следующие два условия. 1) Действие дифференциалов отображений в точке на векторы удовлетворяет неравенствам (см. Дифференцирование отображений). с нек-рыми константами не зависящими от х.2) Если - каскад (т.

Е. Время принимает целочисленные значения), то а если -поток, то где - одномерное подпространство, натянутое на вектор фазовой скорости (тем самым предполагается, что последний нигде на Fне обращается в нуль). Кроме того, для удобства нек-рых формулировок бывает целесообразно причислить к Г. М. Такие положения равновесия потоков, для к-рых собственные значения матрицы линеаризованной системы расположены вне мнимой оси. Подпространство наз. Устойчивым, - неустойчивым, - нейтральным. Точки , для к-рых неограниченно сближается с при , образуют нек-рое гладкое многообразие , касающееся в точке . Оно наз. Устойчивым многообразием точки х. Объединение для всех х, лежащих на одной траектории, наз. Устойчивым многообразием этой траектории.

Аналогично вводятся неустойчивые многообразия точки и траектории. Классич. Пример Г. М. Потока - периодич. Траектория, для к-рой лишь один мультипликатор уравнения в вариациях равен по модулю единице. У нек-рых систем все фазовое пространство является Г. М. (см. У-система). Много примеров Г. М. Было обнаружено при изучении динамич. Систем классич. Происхождения (напр., в небесной механике, см. [1]). В общем виде Г. М. Были введены С. Смейлом (§. Smale) в 1965 (см. [2]), и с тех пор они играют важную роль в теории гладких динамич. Систем, будучи как объектом исследования, так и составной частью многих примеров (см. Также [3]). Лит.:[1] Кушниренко А. Г., Каток А. Б., Алексеев В. М., Гладкие динамические системы, в кн. Девятая летняя матем.

Школа, К., 1972, с. 50-341. [2] Смейл С., "Успехи матем. Наук", 1970, т. 25, в. 1, с. 113-85. [3] Нитецки 3., Введение в дифференциальную динамику, пер. С англ., М., 1975. Д. В. Аносов.