Гиперболической Метрики Принцип

пусть области Dи Gлежат соответственно в плоскостях и и имеют каждая не менее чем по три граничные точки, пусть - функция, регулярная в Dи принимающая значения в G, и пусть и - линейные элементы в гиперболич. Метрике областей D и G в точках соответственно и . Тогда справедливо неравенство Равенство в какой-либо точке имеет место только в том случае, если в D, где функция конформно отображает область Dна круг , а функция конформно отображает круг Ена область G. Г. М. П. Обобщает Шварца лемму на многосвязные области, в к-рых может быть определена гиперболич. Метрика. В формулировке Г. М. П. Предположение регулярности функции f(z) в Dможет быть заменено более общим предположением. F(z) - аналитич. Функция, определенная в Dкаким-либо своим элементом и продол-жимая в D по любому пути.

Этот же принцип можно сформулировать также относительно поведения гиперболич. Длины кривых, гиперболич. Расстояния или гиперболич. Площади при указанном отображении. Именно, если L- спрямляемая кривая в D, то (в обозначениях статьи Гиперболическая метрика) Если и - две точки области D, то Если В - область в D, то В каждом из этих неравенств равенство достигается только в указанном выше случае. Приведенный выше результат относительно гиперболич. Расстояния показывает, что при отображении образ гиперболич. Круга с центром в точке содержится в гиперболич. Круге с центром в точке того же гиперболпч. Радиуса. Этот результат распространяет на случай многосвязных областей следующий факт теории конформного отображения (инвариантная форма леммы Шварца).

При отображении круга регулярной в нем функцией в , гиперболич. Расстояние между образами точек и круга Ене превосходит гиперболич. Расстояния между самими точками и и равно этому расстоянию только в случае дробно-линейного преобразования круга Ена себя. Г. М. П. Следующим образом связан с Линделёфа принципом. Если области Dи G обладают функциями Грина и односвязны, то оба принципа совпадают. Если же Dодносвязна, a Gмногосвязна, то Г. М. П. Дает более точную оценку области, в к-рой содержится образ гиперболич. Круга в D, определяемого неравенством при отображении (где через обозначена функция Грина области Dс лога-рифмич. Полюсом в точке ). Кроме того, Г. М. П. Применим и тогда, когда нельзя говорить о принципе Линделёфа, напр., в случае области, обладающей по крайней мере тремя граничными точками, но не имеющей функции Грина.

Г. В. Кузьмина.