Грина Пространство

- топологич. Пространство X, на к-ром определены гармонич. И супергармонич. Функции и существует Грина функция (для Дupихле задачи в классе гармонич. Функций), или, что равносильно, существует отличная от константы положительная супергармонич. Функция. Точнее, пусть Xявляется Е- пространством, т. Е. Связным отделимым топологич. Пространством, в к-ром. 1) каждая точка имеет открытую окрестность , гомеоморфную нек-рому открытому множеству евклидова пространства (или его компактификации по Александрову. См. Александрова бикомпактное расширение);2) образы всякого непустого пересечения двух окрестностей в и изометричны, а при п=2 конформно эквивалентны. Гармонич. И супергармонич. Функции на Е-пространстве Xопределяются локально посредством перехода к образам .

Если, кроме того, на Е-пространстве Xсуществует отличная от константы положительная супергармонич. Функция, или, что равносильно, положительный потенциал, то Xназ. Грина пространством. Напр., евклидово пространство , его компактификация , римановы поверхности являются Е-пространствами. При этом при и римановы поверхности гиперболич. Типа являются Г. П., а и римановы поверхности параболич. Типа не являются Г. П. Всякая область в Г. П. Xснова есть Г. П. В рамках аксиоматич. Теории потенциала (см. Потенциала теория абстрактная).в качестве обобщения Г. П. Можно рассматривать такие гармонические пространства X, на к-рых существует положительный потенциал. Лит.:[1] Брело М., О топологиях и границах в теории потенциала, пер. С англ., М., 1974.

[2] Вrelot M., Сhоquеt G., "Ann. Inst. Fourier", 1952, t. 3, p. 199-263. Е. Д. Соломенцев.