Грина Формулы

- формулы интегрального исчисления функций многих переменных, связывающие значения га-кратного интеграла по области D n -мерного евклидова пространства и -кратного интеграла по кусочно гладкой границе этой области. Г. Ф. Получаются интегрированием по частям интегралов от дивергенции векторного поля, непрерывного в и непрерывно дифференцируемого в В простейшей Г. Ф. криволинейный интеграл по контуру Г выражается через двойной интеграл по области . При этом область Dориентируется естественным образом, а на границе Г берется индуцированная ориентация, известная как обход против часовой стрелки. Формула (1) имеет простой гидродинамич. Смысл. Поток через границу области Г жидкости, текущей по плоскости со скоростью , равен интегралу по области Dот интенсивности (дивергенции) распределенных в Dисточников и стоков.

В этом смысле Г. Ф. (1) подобна Остроградского формуле (см. Также Стокса формула). Формула (1) иногда наз. Именами К. Гаусса (С. Gauss) и Б. Римана (В. Riemann). Ни одно из употребляемых названий не является исторически верным. Формула (1) встречалась еще в работах по анализу 18 в. - у Л. Эйлера (L. Euler) и др. Дж. Грину [1] принадлежат следующие Г. Ф. потенциала теории -подготовительная Г. Ф. И где D - область , - элемент объема - элемент площади , - единичная внешняя (ко)нормаль к Г, - оператор дифференцирования в направлении (ко) вектора N, а - оператор Лапласа. Формулы (2), (3) справедливы и в случае, когда Dесть область - элемент объема - элемент ( п-1)-мерного объема Г, а - оператор Лапласа с пнезависимыми переменными.

Обобщения Г. Ф. (2) и (3) для линейных дифференциальных операторов с частными производными с достаточно гладкими коэффициентами имеют вид. 1) если - (вещественно) сопряженные дифференциальные операторы второго порядка, , то где - единичный (ко)вектор внешней нормали к Г, - оператор дифференцирования по направлению так наз. Конормали оператора L. 2) если где М - конормаль оператора L,a 3) если - (вещественно) сопряженные дифференциальные операторы порядка - целочисленный мультииндекс длины , то Здесь граничный интеграл можно записать в виде билинейной суммы где - нек-рые линейные дифференциальные операторы порядков . // .