Гротендика Группа

аддитивной категории - абелева группа, сопоставляемая аддитивной категории универсальным аддитивным отображением. Точнее, пусть С - малая аддитивная категория и G - абелева группа. Отображение наз. Аддитивным, если для любой точной последовательности объектов из Свыполняется . Существует группа , наз. Г. Г., и такое аддитивное отображение , наз. Универсальным отображением, что для любого аддитивного отображения существует единственный гомоморфизм удовлетворяющий условию Впервые эта конструкция была рассмотрена А. Гро-тендиком (A. Grothendieck) для категорий когерентных и локально свободных пучков на схемах при доказательстве теоремы Римана-Роха. См. К-функтор в алгебраич. Геометрии. Группа определена однозначно с точностью до изоморфизма и может быть задана образующими - каждому объекту соответствует образующая [L] - и соотношениями для всякой точной последовательности Частным случаем этого понятия является Г.

Г. Коммутативного моноида М(который можно рассматривать как категорию). Тогда универсальное отображение kявляется гомоморфизмом Мв группу К(М), аесли в Мвыполняется закон сокращения, то k - инъективный гомоморфизм. Если - топологич. Пространство, то Г. Г. Аддитивной категории векторных расслоений над Xявляется инвариантом пространства, изучаемым в К-теории. Если С - категория невырожденных симметрических билинейных форм на векторных пространствах над полем k, то К(С).есть группа Витта - Гротендика над k(см. Витта кольцо). Лит.:[1] Swan R., "Topology", 1963, v. 2, p. 85-110. [2] Борель А., Серр Ж.-П., "Математика", 1961, т. 5, № 5, с. 17--54. [3] Атья М., Лекции по К-теории, пер. С англ., М., 1967. [4] Bass H., Topics to algebraic K-theory, Bombay, 1966.

[5] Ленг С., Алгебра, пер. С англ., М., 1968. В. И. Данилов.