Действие Группы

на многообразии- наиболее изученный случай общего понятия действия группы на пространстве. Топологич. Группа Gдействует на пространстве X, если каждому поставлен в соответствие гомеоморфизм jg пространства X(на себя), удовлетворяющий условиям. 1) jgjh =jgh;.2) для единицы отображение je есть тождественный гомеоморфизм. 3) отображение j. j(g, x) =jg(x). Непрерывно. В случае, когда Xи Gобладают дополнительными структурами, особый интерес представляют Д. Г. G, учитывающие эти структуры. Напр., если X- дифференцируемое многообразие, G- группа Ли, то отображение j обычно предполагается дифференцируемым. Множество {jg(x0)}g ОG наз. Орбитой (траекторией) точки относительно группы G;пространство орбит обозначается X/G и наз.

Также факторпространством пространства X п о группе G. Важным примером является случай, когда Xесть группа Ли, а d- ее подгруппа. Тогда X/G есть соответствующее однородное пространство. Классические примеры. Сферы Sn-1=O(n)/O(n-1), Грассмана многообразия Штифеля многообразия О (п)/О (т). Здесь пространство орбит есть многообразие. Обычно же это не так, если действие группы не является свободным, напр., если множество Х G неподвижных точек непусто. При этом под свободным действием группы понимается действие, при к-ром из gx=x,следует g=e. В противоположность этому, XG будет многообразием, если X - дифференцируемое многообразие, а действие группы Gдифференцируемо. Это утверждение верно и для когомологич. Многообразий над Z р для G=Zp (теорема Смита).

Если G- некомпактная группа, то пространство X/G, вообще говоря, неотделимо, и поэтому интерес представляет индивидуальное изучение траекторий и их взаимного расположения. Классическим является пример группы G=R действительных чисел, действующей дифференцируемым образом на дифференцируемом многообразии X. Изучение таких динамич. Систем, эквивалентных заданию систем обыкновенных дифференциальных уравнений в локальных координатах, проводится в основном аналитич. Методами. В случае компактной группы Gсуществует предположение, что если X- многообразие, а каждое g неравно eдействует на Xнетривиально (т. Е. Не является действием по закону ), то Gесть группа Ли (см. [8]). Поэтому интерес к случаю действия компактной группы концентрируется вокруг действия группы Ли.

Пусть G- компактная группа Ли, X- компактное когомологич. Многообразие. Типичными являются следующие результаты. В Xсуществует конечное число типов орбит, окрестности орбиты устроены как прямое произведение (теорема о срезе), имеют место представляющие интерес связи между когомологич. Строением пространств X, X/G, Х G. Если G- компактная группа Ли, X- дифференцируемое многообразие, а действие дифференцируемо, то естественным является отношение эквивалентности. Найдутся такие (X",j"), что граница дХ" имеет вид и что j"|Х =j, j"|Х' =j'. В случае свободного действия группы Gклассы эквивалентности находятся во взаимно однозначном соответствии с бордизмамиW*(BG) классифицирующего пространства BG. Результаты последних лет (сер.

70-х гг.) концентрируются в основном вокруг. 1) определения типов орбит при различных дополнительных предположениях о группе Gи многообразии X(см., напр., [6]), 2) классификации Д. Г., 3) отыскания связей между глобальными инвариантами многообразия Xи локальными свойствами Д. Г. Gв окрестности неподвижных точек Х G. В решении этих вопросов важную роль играют методы современной дифференциальной топологии (напр., перестройки), аналог K-теории для векторных G-pacслоений - KG -теория [1], теории бордизмов и кобордизмов [3], аналитнч. Метод исследования Д. Т. G, основанный на изучении псевдодифференциальных операторов в G-расслоениях (см. [2], [7]). Лит.:[1] Атья М., Лекции по К-теории, пер. С англ., М., 1967. [2] Атья М., Зингер И., "Успехи матем.

Наук", 1969, т. 24, № 1, с. 127-82. [3] Бухштабер В. М., Мищенко А.