Евклида

- научное произведение, написанное в 3 в. До н. Э., содержащее основы античной математики. Элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов. "Н." Е.- образец дедуктивной системы, содержащей исходные предложения геометрии и других разделов математики, на основе к-рых все теории развиваются строго логически. "Н." Е. Составлены по определенной схеме, сложившейся еще до Евклида и кратко изложенной в сочинениях Аристотеля. Сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства. Помимо теорем в "Н." Е. Имеются и проблемы, решаемые построением или с помощью арифметич. Алгоритмов.

Вслед за определением основных геометрич. Понятий и объектов Евклид доказывает существование остальных объектов геометрии (напр., равностороннего треугольника) путем их построения, к-рое выполняется на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения следующих элементарных построений. 1) через две точки можно провести прямую. 2) отрезок прямой можно неограниченно продолжить. 3) данным радиусом из данной точки можно провести окружность. 4) все прямые углы равны между собой (этим обеспечивается единственность продолжения прямой). 5) если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних односторонних углов меньше суммы двух прямых, то прямые пересекутся при неограниченном их продолжении с той стороны, с к-рой эта сумма меньше.

Все постулаты (кроме 4-го, к-рый заменяется требованием, чтобы через две точки проходила единственная прямая) вошли в качестве аксиом в современные курсы оснований геометрии. Особенно интересна судьба 5-го постулата. Еще в древности математики пытались его доказать. Аналогичные попытки продолжались вплоть до работ Н. И. Лобачевского (см. Лобачевского геометрия), построившего первую систему неевклидовой геометрии, в к-рой этот постулат не имеет места. За постулатами в "Н." Е. Приводятся аксиомы - предложения о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами. 1) равные одному и тому же равны между собой, 2) если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны, 3) если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны, 4) совмещающиеся друг с другом равны между собой, 5) целое больше части (в нек-рых списках "Н." Е.

К этому добавляют еще четыре аксиомы). "Н." Е. Состоят из тринадцати книг (отделов или частей). В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга теоремой Пифагора. В книге II излагается т. Н. Геометрич. Алгебра, т. Е. Строится геометрич. Аппарат для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. При этом величины изображаются отрезками, а произведение двух величин - площадями. Алгебраич. Символика в "Н." Е. Отсутствует. В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд (эти проблемы были исследованы Гиппократом Хиосским во 2-й пол. 5 в. До н. Э.), в книге IV - правильные многоугольники. В книге V дается общая теория отношений величин, созданная Евдоксом Книдским (4 в.

До н. Э.). Она отличается особенной логич. Завершенностью и в основном эквивалентна теории дедекиндовых сечений, являющейся одним из обоснований учения о действительных числах. Общая теория отношений является основой учения о подобии (книга VI) и метода исчерпывания (книга XII), также восходящих к Евдоксу. В книгах VII - IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя. В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и бесконечности числа простых чисел, а также строится учение об отношении целых чисел, эквивалентное по существу теории рациональных чисел. В книге X на этой основе дается классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей и обосновываются нек-рые правила их преобразования.

Результаты книги X применяются в книге XIII для определения ребер пяти правильных многогранников. Значительная часть книг X и XIII (а вероятно, и VII) принадлежит Теэтету (начало 4 в. До н. Э.). В книге XI излагаются начала стереометрии. В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношений объемов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы были впервые доказаны Евдоксом. Наконец, в книге XIII определяется отношение объемов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует. Последующими греч. Математиками к "Н." Е. Были присоединены книги XIV и XV, не принадлежащие Евклиду. Они часто и теперь издаются совместно с основным текстом "Н." Е.

Содержание их не представляет большого научного интереса. "Н." Е. Получили широкую известность уже в древности. Архимед, Аполлоний Пергский и другие учепые опирались на них при своих исследованиях в области математики и механики. В кон. 8 - нач. 9 вв. Появляются переводы "Н." Е. На арабский язык. Первый перевод на латинский язык был сделан с арабского в 1-й четверти 12 в. Старинные списки "Н." Е. Отличаются существенными разночтениями. Подлинный текст их точно не восстановлен. Первое печатное издание "Н." Е. В переводе на латинский язык появилось в 1482 с чертежами на полях книги. Наилучшим считается издание Й. Хейберга (5 тт., 1883-88), в к-ром приводится как греческий текст, так и его латинский перевод. На русском языке имеются следующие переводы.

И. Астарова - "Евклидовы елементы", сокращенные проф. А. Фархварсоном (8 кн., 1739, пер. Слатин.), Н. Курганова - "Евклидовы елементы геометрии" (8 кн., 1769, пер. С франц.), П. Суворова и В. Никитина - "Евклидовы стихии" (осьмкниг, 1-6, 11, 12. 1784, пер. С греч.), Ф. Петрушевского - "Эвклидовых начал восемь книг, а именно. Первые шесть, одиннадцатая и двенадцатая, содержащие в себе основания геометрии" (1819, пер. С греч.), Ф. Петрушевского - "Эвклидовых начал три книги, а именно. Седьмая, осьмая и девятая, содержащие общую теорию чисел древних геометров" (1835, пер. С греч.), М. Е. Ващенко-Захарченко - "Начала Евклида" (1880), Д. Д. Мордухай-Болтовского - "Начала Евклида" (3 тт., 1948-50, пер. С греч.). По материалам одноименной статьи И.

Г. Башмаковой и А. И. Маркушевича из БСЭ-2..