Инвариантное Среднее

на группе или полугруппе G, точнее, инвариантное среднее на пространстве Xфункций на G,- непрерывный линейный функционал тна замкнутом подпространстве Xпространства В(G)всех ограниченных комплекснозначных функций на G, снабженном равномерной нормой, содержащем постоянные функции и инвариантном относительно операций комплексного сопряжения, причем ти Xудовлетворяют следующим условиям. 1) пространство Xинвариантно относительно левого сдвига, т. Е. Если то и где xf(t)=f(xt )для всех т - среднее на X, т. Е.для всех и inf {f(x)}m(f)sup {f(x)} для всех действительнозначных 3) m(xf)=m(f) для всех и всех В этом случае И. С. Тназ. Левоинвариантным средним. Аналогично определяется правоинвариантное среднее и двустороннее И.

С. На G. Если на X = B(G)существует двустороннее И. С, то группа Gназ. Аменабельной. Аменабельность группы Gсвязана с существованием инвариантных мер относительно нек-рых групп преобразований, связанных с G(см. [1]). Если G- локально компактная топологич. Группа, то на пространствах почти периодич. Функций и слабо почти периодич. Функций на Gсуществует нетривиальное левое И. С. С другой стороны, следующие условия эквивалентны. 1) существует левое И. С. На пространстве 2) существует левое И. С. На пространстве X = CB(G)ограниченных непрерывных комплексных функций на G;3) существует левое И. С. На пространстве Х = UCB(G)двусторонне непрерывных ограниченных комплексных функций. 4) существует двустороннее И. С. На одном из пространств СВ (G), UCB(G).

5) группа Gне имеет дополнительной серии представлений. 6) носитель регулярного представления группы Gсовпадает с дуальным пространством этой группы. 7) единичная функция на группе Gможет быть на любом компакте равномерно аппроксимирована конечными линейными комбинациями матричных элементов регулярного представления группы G;8) если m - левая мера Хаара на G,v - такая ограниченная комплексная регулярная борелевская мера на G, что для всех финитных непрерывных функций f на G, то 9) для нек-рого q>1,любого е>0 и любого компакта существует неотрицательная функция удовлетворяющая условию ||xj-j||<e для всех 10) предыдущее условие выполняется для всех q>1,11) для любого e>0 и любого компакта существует такое борелевское множество что иm-1(U).m(xUDU)<e для всех 12) любое непрерывное действие группы Gна компактном выпуклом множестве в локально выпуклом пространстве непрерывными аффинными преобразованиями имеет неподвижную точку.

Локально компактная группа, удовлетворяющая любому из равносильных условий 1) - 12), наз. Аменабельной. Непрерывные образы аменабельных групп, замкнутые подгруппы аменабельных групп, расширения аменабельных групп с помощью аменабельных, индуктивные пределы аменабельных групп - аменабельны. Равномерно ограниченное представление аменабельной группы в гильбертовом пространстве эквивалентно унитарному представлению в том же пространстве. Нек-рые из перечисленных результатов могут быть распространены на случай общих топологич. Групп, допускающих И. С. На пространстве ограниченных непрерывных комплексных функций. Теория И. С. И аменабельных групп имеет существенные приложения в теории динамич. Систем, эргодич. Теории, теории алгебр Неймана и в абстрактном гармонич.

Анализе. Лит.:[1] von Neumann J., "Fundam. Math.", 1929, v. 13, p. 73-116. [2] Грин ли ф Ф., Инвариантные средние на топологических группах и их приложения, пер. С англ., М. 1973. [3] Диксмье Ж., С*-алгебры и их йредставления, пер. С франц., М., 1974. А. И. Штерн..